Riprendiamo l'argomento lasciato in sospeso nella Parte 3, cioè l'applicazione dell'Estensione nello Spazio all'algebra booleana. Di seguito vengono nuovamente riportate le figure precedenti, contenenti le "formule magiche". Bè, chi ha letto le prime due parti avrà già capito che si tratta semplicemente della trascrizione dei teoremi di De Morgan, per cui se "p = p1 or p2" allora "not p = not p1 and not p2", dove "not p" si riscrive "1 - p", con l'unica aggiunta della parte estranea/complessiva per gli oggetti spaziali, che viene riscritta come {1 - k}. Un aspetto curioso della faccenda è il fatto che nel libro di George Boole, "Indagine sulle leggi del pensiero", non c'è alcun riferimento alle leggi di De Morgan, nonostante i due si frequentassero e fossero amici.
Soffermiamoci su alcuni dettagli presenti nelle due figure.
LA SOMMA
In alto appare la somma "p = p1 + ... + pn".
Ipoteticamente si potrebbe pensare che "p" sia un insieme, in quanto somma di n elementi. Non è così. "p" è solamente l'elemento generico, mentre i "pj" sono elementi specifici. Ricordiamoci infatti che "+" corrisponde ad OR. Invece l'insieme di elementi è dato dalla riga sottostante, cioè il prodotto:
"C = (1 - p) = (1 - p1) … (1 -pn)"
Un altro dubbio è che questo elemento generico "p" possa contraddire il principio di dualità, in quanto assumerebbe un valore maggiore di "1". Infatti nell'ipotesi in cui gli elementi "pj" siano veri, potremmo ottenere: "5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1". Il problema si risolve leggendo il capitolo di George Boole dedicato alle "Abbreviazioni". George Boole ci fa notare che qualsiasi valore maggiore di uno equivale ad uno, per cui "5 = 1 = True". D'altronde se dico "un gatto oppure un gatto oppure un gatto" sempre di un gatto si tratta, non di tre gatti. Un altro esempio interessante di "Abbreviazione" riportato da George Boole è questo: "x + xy = x" D'altronde se dico "un gatto oppure un gatto bianco", sempre di gatto si tratta.
MONOMIO NULLO
Qui entriamo nel vivo dell'estensione nello spazio. In una situazione ideale gli elementi devono escludersi l'un l'altro. Pertanto moltiplicati fra loro devono annullarsi. Immaginiamo i punti del cerchio. Ogni punto esclude l'altro. Sono separati e non possono coincidere. Analogamente le molecole d'acqua: è una molecola, oppure un'altra. Da ciò ne deriva che il polinomio ha solo variabili di primo grado:
"C = (1 - p) = (1 - p1) (1 - p2) … (1 -pn) = 1 - p1 - p2 - ... - pn"
Dal prodotto si ritorna alla somma di cui sopra.
La prossima immagine aiuta a capire, tramite i diagrammi di Venn, l'ipotesi di esclusione reciproca degli elementi.
I RAGGRUPPAMENTI
Un presupposto interessante della Teoria dell'Estensione nello Spazio è che l'operatore unario di negazione NOT può essere reinterpretato come un insieme, cioè come un raggruppamento di oggetti. Quindi se "p" è un punto, allora "1 - p" è l'insieme dei punti. Può sembrare strano il fatto che "1 - x" sia l'insieme degli elementi "x", ma in realtà è così. Per esempio se "x = y" allora l'insieme degli x è uguale all'insieme degli y, cioè "1 - x = 1 - y". Altro esempio: se un essere umano è uomo o donna, allora l'insieme di tutti gli esseri umani è dato dall'insieme degli uomini e delle donne. Cioè se "e = u + d", allora "(1 - e) = (1 - u) (1 - d)", ammettendo che "ud = 0", dato che uomini e donne si escludono tra loro.
In particolare risulta quanto segue:
"0 = 1 - 1" corrisponde al raggruppamento di tutto ciò che è vero
(insieme universo)
"1 = 1 - 0" corrisponde al raggruppamento del falso
(insieme vuoto)
Qualsiasi funzione F(x) del concetto x può essere negata e reinterpretata come funzione G(1-x) del raggruppamento "1 - x". Concetti e raggruppamenti sono diverse facce di una stessa medaglia e sono entrambi sottoposti al principio di dualità, cioè possono essere "0" oppure "1". Sarebbe interessante sapere se alcuni problemi non computabili di Teoria degli Insiemi possono essere raggirati pensando gli insiemi in questo modo più semplice.
LA PARTE ESTRANEA/COMPLESSIVA {1 - K}
La presenza della parte estranea/complessiva è ciò che distingue un oggetto spaziale da un oggetto non-spaziale. Coerentemente con quanto abbiamo detto, ciò che precedentemente veniva scritto "{I(K)}" viene qui riscritto come {1 - K}. Una cosa fondamentale da notare è che la parte estranea/complessiva non rispetta il Principio di Dualità, ma può assumere qualsiasi valore "0 <= {1 - k} <= 1". Infatti quando gli elementi "pj" sono veri, cioè "1", allora "0 = (1 - p) = (1 - p1) ... (1 - pn) {1 - k}" per qualsiasi valore "0 <= k <= 1". Questo vuol dire che la parte estranea/complessiva non è un concetto, nè un raggruppamento. Non deve sorprenderci. Lo stesso George Boole aveva previsto l'esistenza di parametri, che non rispettano il Principio di Dualità. Per esempio la proposizione particolare "alcuni X sono Y" corrisponde a "vX = wY", dove "v" e "w" sono frazioni dell'unità, quote parti, che possono assumere qualsiasi valore compreso tra zero ed uno.
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