Space 1999 - Il Pianeta Viola

Diario della dottoressa Helen Russel: "Sfogliando queste vecchie pagine, mi rendo conto di quanto fossero duri quei primi giorni di cambiamento. Eravamo appena fuggiti dal Pianeta Psycon, poco prima che esplodesse, e dopo esserci ripresi, realizzammo che ormai non c'era più traccia di Victor, nè di Paul o di David. John disse di aver visto Victor e Paul tra gli schiavi di Mentor, ridotti come zombie irriconoscibili, perchè il loro prezioso cervello era necessario al mantenimento del super-computer di Psycon. Poi Maya ci disse che Kano era entrato in competizione col super-computer di Psycon, e che il prezzo di questa terribile competizione era stato la morte e la distruzione di tutti i computer. Ma in quei primi giorni John era sconvolto, nervoso, e temevo che non riuscisse più a tenere il polso della situazione..."

"Helen ! Cosa ti avevo chiesto ? Sbrigati ! Dopo il busto di Victor Bergman voglio quello di Paul Morrow e di David Kano. Lo vuoi capire oppure no ?"

E' vero, pur essendo un medico, ho sempre avuto talento artistico, ma questa richiesta di John mi sembrava incomprensibile. Infatti John è sempre stato un uomo concreto e pragmatico, indifferente alle espressioni decorative. Che importanza avrebbero avuto le statue, adesso che i nostri amici erano morti ? Non sarebbe stato più opportuno dare priorità alle necessità dei superstiti ? In effetti temevo che quella richiesta fosse la manifestazione di un cedimento nervoso. "Ehm... John... aspetta... scusa... Tony pensava di atterrare sul Pianeta Viola..." "Il Pianeta Viola ?" mi domandò John indispettito. "Che razza di nome è Pianeta Viola ? Ricordati che Victor Bergman assegnava i nomi ai pianeti sulla base di una progressione alfanumerica crescente !" "Sì, lo so John, ma il nome l'ha scelto Tony..." gli risposi imbarazzata. "Ah, bene ! L'ha scelto Tony !" esclamò John, che poi proseguì furibondo: "Quindi, a quanto pare, adesso abbiamo un vigilante, Tony, che si improvvisa analista dati. E abbiamo anche un'analista dati, Maya, che si improvvisa vigilante! Di male in peggio !" Tony interruppe bruscamente il soliloquio: "Senti John, scendo io sul Pianeta Viola. L'ho chiamato così perchè viene investito da raggi ultravioletti, ma sotto quelle foreste si può vivere" "Ti correggo Tony" riprese John "sono raggi x e gamma, non ultravioletti, il che determina una diversa aspettativa di vita"

Una diversa aspettativa di vita...diciamo pure un'aspettativa di morte..."Aspetta Tony, tu non scendere!" intimò John "Non possiamo permetterci di perdere altre vite! Non vedi cos'è successo a Steve, Enrico e Justine ?" "Sì, sono morti bruciati. Ma allora come ti spieghi la sopravvivenza delle piante ? Sul Pianeta Viola ci sono zone in ombra che si estendono per migliaia di km quadrati,  proiettate da foreste che riparano la terra dalla luce di quel maledetto Sole!"

"Evidentemente non è così Tony. Non è come pensi. E c'è un solo modo per saperlo: Maya!"

"Maya trasformati ! Trasformatiiiiii !" urla un esagitato John Koenig, mentre Maya si trasforma in una pianta del Pianeta Viola, al fine di svelare il mistero della vita di quel pianeta inospitale.

"ZIBIDIBIDIBIDIBIDIII..."

Vediamo quindi il corpo flessuoso e sensuale di Maya assumere le sembianze prima faunistiche e poi floreali di quelle fragranze aliene che concupiscono i più solitari avventori extra-galattici.

"Ormai il busto di Victor Bergman era quasi ultimato, quando John e Maya riuscirono a venirne a capo anche senza di lui" ricorda Helen Russel rileggendo le vecchie memorie.

"Si Maya, hai ragione" disse John Koenig osservando le diapositive.

"In pratica c'è una differenza fondamentale tra la vegetazione che cresce sotto un Sole Benefico e quella che cresce sotto un Sole Malefico". "Esatto !" proseguì Maya. "Quando il Sole è benefico, le piante sviluppano una superficie molto estesa, al fine di catturare più luce possibile. Si pensi, ad esempio, alle chiome degli alberi sul Pianeta Terra, alla larghezza del fogliame e ai petali dei fiori rivolti verso il Sole. Queste piante catturano la maggiore quantità possibile di luce solare, e proprio per questo motivo proiettano ombra, consentendo riparo ad altre specie animali e vegetali, così come vedete nella prima immagine sul monitor. 

Al contrario, la seconda immagine a destra illustra l'evoluzione delle piante quando il Sole è Malefico. In quest'ultimo caso la superficie delle piante è ridotta al minimo, quindi non proiettano ombra. Queste piante, cresciute sotto un Sole Malefico, sono simili ad antenne TV, perchè captano solo quel minimo di raggi x e gamma che consentono il loro sostentamento, convogliando poi l'energia nelle radici del sottosuolo. Paradossalmente, una grande foresta sotto un Sole Malefico non proietta alcuna ombra"

"Ecco perchè Steve, Enrico e Justine sono morti!" riflette il Comandante John Koenig, "Nonostante la foresta del Pianeta Viola fosse così estesa e fitta, non proiettava alcuna ombra e non concedeva alcun riparo dai raggi malefici! Non solo, ma credo di aver capito anche per quale motivo le piante che sul Pianeta Terra crescevano in condizioni avverse, come i cactus e i fichi d'India, avessero sviluppato delle spine. Quelle che a noi sembravano spine erano in realtà le micro-antenne !"

"John ! C'è una buona notizia !" irruppi io stessa in quel momento. 

"Eh ? Quale ?" chiese John.

"Gli impulsi vitali di Victor, Paul e David sono piatti perchè le macchine sono fuori uso, ma non perchè le funzioni vitali sono cessate. In pratica, forse loro sono ancora vivi." "Bè, se non altro questa è davvero una bella notizia, Helen" rispose John

FINE.

Storia e disegni di Leo001 sui personaggi e la serie di Gerry e Silvia Anderson.

Star Trek - Sole Bimbo

"Che bello il Sole Bimbo ! Con tutti quei bambini che si scaldano al calore dei suoi raggi !" esclama stirandosi il Tenente Uhura. "Non si era mai vista una stella così strana prima d'ora !" osserva Mister Spock. In effetti "Sole Bimbo" è una vera singolarità. E' un Sole come lo disegnerebbe un bambino: cioè un cerchio grande con le asticelle e con all'interno cerchi più piccoli che sembrano gli occhi. "Ma io diffiderei di Sole Bimbo e del suo innocente sorriso" ammette laconicamente il Capitano Kirk.

Infatti a distanza ravvicinata emerge una realtà meno idilliaca di quanto si potesse presumere. Sole Bimbo è un mostro. E quelli che sembravano bambini intenti a scaldarsi erano in realtà i suoi "semi" che lui faceva germogliare tramite la proiezione dei suoi raggi.

All'ascolto della parola "seme", il Tenente Uhura ha una reazione epidermica, che la fa arretrare disgustata urlando:

"CHE SCHIFOOOOOOOOOO !!!"

Mister Spock non può far altro che serbare in cuore queste preziose informazioni, perchè dopo la saga delle Nuove Forme di Vita c'è ancora molto da sapere sulle caratteristiche dei diversi mondi. Ed è chiaro che quei semi crescendo diventeranno uguali a Sole Bimbo.

Il Cosmo è pieno di insidie e di misteri, ma la matematica è ovunque la stessa:

"1 + 1 = 2".

Purtroppo però, per il Capitano Kirk ed il Tenente Uhura vale sempre "1 + 1 = 1" perchè non hanno ancora trovato l'Amore, nonostante la lunga odissea alla ricerca di nuove forme di vita.

"Sole Bimbo" fugge nel vuoto dello spazio in preda al panico, mentre l'equipaggio rientra nell'Enterprise. "Torna indietro ! Non vogliamo farti del male !" trasmette il Capitano Kirk. "Guarda che ce ne andiamo noi, Sole Bimbo ! Adesso ripartiamo, così ti lasciamo in pace !" cerca di rassicurarlo il tenente Uhura.

Nessuno saprà mai le aspettative e i pensieri di Sole Bimbo. Nessuno potrà spiegare la sua paura irrazionale, scomposta, a fronte di piccoli esseri, come insetti, che lo seguivano a bordo di un veicolo spaziale. Perchè lui cercava solo di fecondare il pianeta con i suoi semi luminosi. Ma per quanto fosse pieno di risorse, non poteva competere con il calore e la potenza di una vera stella, così che Sole Bimbo muore, essiccandosi ad una distanza troppo ravvicinata dal Sole di quel lontano mondo.

Ma qualcosa rimarrà di lui. Il suo ruolo nel palcoscenico del Cosmo resterà decisivo. Forse i suoi semi germoglieranno e nasceranno altri "Sole Bimbo". E adesso "1 + 1 = 2" varrà anche per il Capitano Kirk ed il Tenente Uhura. Infatti vediamo che il Capitano Kirk rassicura il Tenente Uhura stringendola fortemente tra le sue braccia, mentre lei per la prima volta nella vita si lascia andare. "Mooolto interessante ! Ma neanche poi tanto" pensa Mister Spock, dal momento che il Pianeta Vulcano è pieno di donne, e per lui non sarà necessario sommare "1 + 1" per ottenere il risultato auspicato.

FINE

Storia e disegni di Leo001 sui personaggi e la serie ideata da Gene Roddenberry.

La Scienza di Leo: perchè ci piace la musica?

Già, perché ? Sono molti i filosofi, gli scienziati e i musicologi, che tentano di rispondere a questa domanda. Francamente me lo sono chiesto anch'io, che ascolto molta musica e nel tempo libero suono un po' la chitarra. E se adesso questa domanda non me la pongo più, è perché credo di aver trovato la risposta. Il problema sembra insormontabile se cerchiamo la risposta in un contesto specifico, ma questa risposta rientra in una dinamica più ampia e generica.

Molti studiosi ritengono che il piacere che proviamo ascoltando la musica derivi dalla contemplazione delle regole dell'armonia e della suddivisione dei tempi, che rievocano le leggi universali dell'arte combinatoria, della matematica e della geometria. Questo può essere vero nel caso in cui si ascolti musica barocca, il "progressive rock", l'heavy metal o la melodia italiana. Non lo è però in linea generale, quando per esempio si ascolta un'improvvisazione, un assolo o un ritmo tribale. Per includere questi ultimi casi si ricorre allora all'idea che la musica sia un eco del nostro metabolismo e delle funzioni vitali, cioè del battito cardiaco, del flusso sanguigno e della respirazione, ma anche qui non ne usciamo, perché se così fosse il battito cardiaco e la respirazione sarebbero in cima alle hit-parade. In realtà, come dicevo, il discorso è molto più ampio, e si ricollega anche al fatto che agli esseri umani piace vedere un bel disegno, la televisione, o bere bibite gassate, che invece gli animali rifuggono come il veleno.

Sostanzialmente, il funzionamento della nostra mente prevede un meccanismo di feed-back, che potremmo chiamare "allarme/sollievo". Quando entriamo in contatto con qualcosa di insolito, allora nel nostro cervello scatta un segnale di "allarme". Quando poi, dopo alcune frazioni di secondo, ci rendiamo conto che questo allarme è immotivato, in quanto non sussiste alcun pericolo, allora ne consegue una retroazione di "sollievo". Questa "azione/retroazione" di "allarme/sollievo" è velocissima, poche frazioni di secondo in tutto, perché il nostro cervello, per motivi di opportunità, elabora le informazioni molto più velocemente di quanto noi stessi siamo consapevoli. La nostra coscienza (e a maggior ragione le valutazioni culturali) è molto più lenta di questo meccanismo di "allarme/sollievo", di conseguenza ci rimane solamente una generica sensazione di "piacere" e di "benessere", che risulta misteriosa e inspiegabile. Però, se riuscissimo a suddividere questa misteriosa sensazione di benessere nei suoi costituenti infinitesimali, di cui non siamo consapevoli, ci accorgeremmo che si tratta del feed-back di "allarme/sollievo".

Il prossimo disegno propone un esempio pratico di questo meccanismo di "allarme/sollievo". Quando ci troviamo di fronte ad uno strapiombo, il nostro cervello entra in uno stato di allarme, perché ipoteticamente potremmo precipitare nel vuoto e sfracellarci. Dopo alcune frazioni di secondo però, il nostro cervello realizza che si tratta semplicemente del davanzale di un balcone e che quindi non c'è alcun pericolo, di conseguenza subentra la fase di sollievo. Questa alternanza di allarme e sollievo è talmente veloce che noi, a livello consapevole, avvertiamo solamente una confusa sensazione di piacere e di benessere dalla quale deriva la misteriosa ammirazione del bel panorama.

Di seguito vediamo un altro esempio pratico di questo meccanismo di allarme/sollievo. Quando ci troviamo di fronte ad una belva feroce, il nostro cervello entra in uno stato di allarme, perché ipoteticamente la belva potrebbe sbranarci. Dopo alcune frazioni di secondo però, il nostro cervello realizza che l'animale si trova in gabbia e che non corriamo alcun pericolo, di conseguenza subentra la fase di sollievo. Questa alternanza di allarme e sollievo è talmente veloce che noi, a livello consapevole, avvertiamo solamente una confusa sensazione di piacere e di benessere che proviamo osservando gli animali allo zoo.

Il meccanismo di "allarme/sollievo" è in grado di spiegare quasi tutte le sensazioni di benessere. Per esempio il piacere che proviamo guidando un'automobile è della stessa natura: viaggiando oltre i 50 km/h il nostro cervello entra continuamente in stato di allarme perché ipoteticamente potremmo sfracellarci. Contemporaneamente però, subentra lo stato di sollievo, in quanto ci troviamo solamente al volante della nostra automobile; gli stati di "allarme/sollievo" sono contemporanei, quindi ne scaturisce una generica e confusa sensazione di piacere che proviamo alla guida della nostra auto. Analogamente possiamo spiegare il piacere che proviamo guardando un film: inizialmente il nostro cervello entra in allarme vedendo la rappresentazione di un mostro come King Kong o Frankenstein. Contemporaneamente però subentra lo stato di sollievo che scaturisce dalla percezione che si tratta di una fiction, quindi ne deriva una generica e confusa sensazione di piacere nel vedere il film. Forse anche il piacere che proviamo nel bere bibite gassate e alcooliche è della stessa natura: inizialmente il nostro cervello entra in allarme perché potrebbe trattarsi di sostanze velenose. Contemporaneamente però ci rendiamo conto che così non è, e quindi subentra la misteriosa sensazione di piacere che proviamo nel bere.

Si noti che quando questo meccanismo è deficitario di una delle due fasi, o dell'allarme o del sollievo, allora lo stato di benessere non subentra. Per esempio, se un disegno è fatto male, il meccanismo è deficitario dello stato iniziale di allarme, e quindi non subentra né il sollievo, né il piacere. Se invece lo strapiombo non ha un davanzale, allora il meccanismo è deficitario dello stato di sollievo.

In conclusione, per la musica vale lo stesso discorso.

Il suono procura uno stato di allarme al nostro cervello, perché ipoteticamente potrebbe trattarsi del ruggito di un animale, di un urlo, o del rombo di un tuono. Dopo poche frazioni di secondo il nostro cervello realizza che non sussiste alcuna minaccia e quindi subentra la fase di sollievo. Anche qui, l'alternanza delle due fasi è talmente veloce, che avvertiamo una confusa e indescrivibile sensazione di piacere ascoltando la musica. Di nuovo, se questo meccanismo è deficitario di una delle due fasi, di allarme o di sollievo, allora il piacere dell'ascolto è precluso. Per esempio, una musica monocorde, che ripete sempre la stessa nota, sarà deficitaria della fase di allarme. Mentre una musica informale e atonale, senza regole sintattiche, né temi ricorrenti, sarà deficitaria della fase di sollievo.

Applicazioni dell' Estensione nello Spazio - Parte 5

Eccoci giunti alla terza parte dedicata all'applicazione della teoria dell'Estensione nello Spazio all'algebra booleana. Come abbiamo già detto, l'argomento richiederebbe la stesura di un intero libro e di un intero team di ricercatori, ma noi ce la siamo cavata in soli tre articoli. In quest'ultimo articolo vedremo come sia ipotizzabile la progettazione di un Frankenstein, di un replicante, cioè di un modello di intelligenza artificiale diverso da quello attuale. Nella prossima immagine vediamo C3PO, il robot di Guerre Stellari, accanto a Koros, il comandante meganoide della serie a cartoni animati Daitarn-3. Le immagini sono tratte da jawapedia e da un sito Facebook dedicato agli anime. 

Nel 2026 gli LLM richiedono l'utilizzo di interi datacenter, i quali consumano cospicuamente le risorse energetiche. Inoltre la mente di un LLM è una "tabula rasa" che necessita dell'acquisizione di tutti i dati disponibili nel web nonché dell'impiego di migliaia di laureati da utilizzare come trainers. L'output di questo processo vale quanto lo sforzo effettuato per ottenerlo. Al contrario, un replicante, un Frankenstein, o meganoide che dir si voglia, avrebbe un cervello pesante più o meno 5 kilogrammi. Non avrebbe bisogno di cospicue risorse energetiche, né di trainers, perché la sua mente sarebbe come quella di un bambino umano, anche se meccanica. Sarebbe in grado di distinguere i concetti e i sentimenti dalle cose materiali ed anche di trovare il nesso causale tra gli eventi, senza che nessuno glielo insegni, proprio come fanno gli esseri umani. In poche parole, sarebbe l'idea che si prefigurava nei film di fantascienza del XX secolo. Adesso vedremo come sia possibile ipotizzare una mente robotica di questo tipo.

IL PRINCIPIO DI DUALITA'

Riepiloghiamo brevemente quanto già detto nel paragrafo precedente in merito al Principio di Dualità. I concetti ("costituenti" nei termini di George Boole) sono sottoposti al Principio di Dualità. Allo stesso modo i raggruppamenti, infatti se "x^2=x" allora "(1-x)^2 = 1 + x^2 - 2x = 1 +x -2x = (1-x)" Al contrario la parte estranea/complessiva {1 - k} non lo è. Nella prossima immagine vediamo un altro modo per dimostrarlo.

E se k può assumere qualsiasi valore 0<=k<=1, lo stesso vale per (1-k).

Ricordiamoci che per George Boole non hanno senso i valori maggiori di uno, dal momento che l'unità corrisponde al Vero, cioè l'Insieme Universo.

STRUTTURA CONCENTRICA

La prima novità che veniamo ad aggiungere in questo paragrafo riguarda la struttura concentrica degli oggetti spaziali. Questi oggetti sono divisibili all'infinito e questo vuol dire possono essere immaginati in maniera sempre più dettagliata estrapolando nuovi concetti dalla parte estranea/complessiva. Nella prossima espressione il concetto x1 viene sostituito dai nuovi concetti x2 ed x3, di conseguenza la parte estranea/complessiva cambia il suo valore da {1 - k} ad {1 - j}.

(1 - x1){1 - k} * (1 - x2)(1 - x3){1 - j} = (1 - x2)(1 - x3){1 - j}

In altre parole A * B = B

Infatti, ammettendo che gli "xj" siano veri, cioè "1", sarebbe un caso particolare della moltiplicazione: "zero * zero = zero".  I prossimi diagrammi di Venn spiegano in maniera intuitiva questo processo.

ELEVAMENTO A POTENZA

Supponiamo, sulla base del criterio concentrico che abbiamo appena visto nel precedente trafiletto, di vedere due diversi stati dettagliati di uno stesso oggetto spaziale. Per esempio, se si tratta di un uomo, possiamo immaginare che più in dettaglio corrisponda ad un adulto, oppure ad un anziano. Se si tratta di un camion, possiamo immaginare che sia in movimento, oppure fermo al semaforo. Scriviamo quindi gli stati B e C di un oggetto A:

(1 - x1){1 - k} * (1 - x2)(1 - x3){1 - j} = (1 - x2)(1 - x3){1 - j}, cioè A * B = B

(1 - x1){1 - k} * (1 - x4)(1 - x5){1 - q} = (1 - x4)(1 - x5){1 - q}, cioè A * C = C

Ebbene, dal momento che i raggruppamenti rispettano il principio di dualità, mentre la parte estranea/complessiva non lo rispetta, è sicuramente possibile il seguente elevamento a potenza per consentire il passaggio dallo stato B allo stato C:

[(1 - x2)(1 - x3){1 - j}]^n = (1 - x2)^n * (1 - x3)^n * {1 - j}^n = (1 - x2) (1 - x3) {1 - j}^n = (1 - x4)(1 - x5){1 - q}.

Cioè, esiste sicuramente un esponente "n" per cui:

{1 - j}^n  = (1 - x4)(1 - x5){1 - q}/(1 - x2)(1 - x3)

In altre parole, il cambiamento di stato di un oggetto spaziale corrisponde semplicemente ad un elevamento a potenza. Il passaggio da uno "stato B" ad uno "stato C" corrisponde semplicemente a "(stato B)^n = (stato C)".

I concetti immateriali, incorporei, privi di parte estranea/complessiva, per esempio la fame, la sete, la bellezza, la felicità, ecc. possono essere pensati in maniera diversa da una mente, sulla base degli esempi e delle esperienze che questa ha vissuto. Però questi concetti immateriali non cambiano di stato, non si trasformano in un modo o in un altro. Sono "eterni", per utilizzare una terminologia platonica.

Al contrario la nostra mente è in grado di ruotare con la fantasia un oggetto spaziale, di vederlo crescere e rimpicciolirsi. Ma questa capacità della mente non dipende dalle esperienze che ha vissuto, bensì è innata. Perché dipende dall'algebra, cioè dalle proprietà dell'operazione di elevamento a potenza.

La moltiplicazione è un'operazione simmetrica: A * B = B * A

Lo stesso George Boole notava che è possibile dire "una bella ragazza" oppure "una ragazza bella", ma il risultato finale non cambia. Al contrario l'elevamento a potenza non è simmetrico: A ^ B <> B ^ A.

Da ciò deriva che il passaggio di stato ha una direzione temporale ben precisa.

In particolare:

- l'elevamento a potenza corrisponde al cambiamento di stato

- l'operazione inversa di radice corrisponde allo stato precedente di quello attuale

- l'operazione inversa di logaritmo corrisponde alla causa, cioè al motivo del cambiamento

Il tutto viene sintetizzato con la prossima immagine:

La nostra mente non è una "tabula rasa". E' già predisposta per immaginare e capire il nesso causale tra gli eventi. Invece di spiegare i fenomeni quotidiani con un metodo punitivo e costoso, "il bastone e la carota", sarebbe auspicabile che una macchina sia capace di pensare da sola, sulla base dei principi esposti in questo articolo. 

ESERCIZIO: ROTAZIONE LOGICA DI UN CUBO

Amici, intendiamoci.

Le applicazioni pratiche di questo articolo richiedono almeno due secoli. Anche dal punto di vista matematico, appaiono una serie di "0/0" e "0*0" che creano problemi. Non vedo come sia realizzabile attualmente, ma sono convinto che il segreto di un cervello "meganoide", che non sia una semplice tabula rasa, risieda nei principi dell'Estensione nello Spazio e dell'algebra booleana. Consoliamoci con un esercizio esilarante, assurdo: la "rotazione logica" di un cubo. L'esercizio viene scritto a mano, perché con il computer avrei impiegato troppo tempo.

NOTE:

NOTA1 del 08/08/2026

Nella Parte 1 di queste applicazioni abbiamo scritto quanto segue: "Un oggetto può essere al tempo stesso spaziale o non spaziale, secondo i punti di vista. Qualsiasi oggetto può essere astratto o concreto, a seconda del contesto in cui lo colloca il nostro pensiero. Una pietra è concreta, ma posso riferirmi ad una pietra in senso astratto" Questa caratteristica ci consente di risolvere algebricamente la struttura concentrica degli oggetti spaziali. Infatti l'algebra ordinaria richiede l'esistenza di un unico elemento neutro per la moltiplicazione. Consideriamo la seguente struttura concentrica: "uomo europeo = europeo; europeo italiano = italiano; italiano romano = romano" cioè: 

U * E = E; E * I = I; I * R = R

Questo procedimento non sarebbe possibile con l'algebra ordinaria, la quale richiede l'esistenza di un unico elemento neutro. Il problema si risolve considerando che qualsiasi oggetto spaziale può essere visto come un concetto, che rispetta il Principio di Dualità, per cui essendo "vero" equivale ad "1". Cioè: 

"(U=1) * E = E; (E=1) * I = I; (I=1) * R = R"

Nell'esempio in questione l'uomo, eventualmente europeo e italiano, viene pensato di volta in volta come concetto, oltre che come oggetto spaziale, al fine di mantenere l'elemento neutro "1" della moltiplicazione e consentire la struttura concentrica. Si noti che invece gli oggetti non-spaziali non hanno una struttura concentrica. Non hanno una parte estranea/complessiva dalla quale sia possibile estrapolare nuovi concetti, quindi potrebbero solo ricombinare in altro modo i concetti che hanno già a disposizione. Tra l'altro, senza parte/estranea complessiva, l'elevamento a potenza restituisce sempre il valore duale "1" oppure "0", quindi non è possibile alcun cambiamento di stato e nessuna variazione nel tempo.

NOTA2 del 10/08/26

Molti di voi potrebbero pensare che non è affatto vero che gli oggetti non-spaziali non cambiano nel tempo. Per esempio il rossore, la febbre, la sete, la forza, la velocità, sono tutti concetti che possono aumentare e diminuire. Ma se fate attenzione vi accorgete che cambia solamente lo stato dell'individuo al quale vengono attribuiti. Se dico "la velocità aumenta", in realtà sta cambiando lo stato dell'oggetto spaziale al quale è attribuita la velocità. Ma il concetto di velocità in sé non cambia. Se dico "il rossore diminuisce", in realtà sta cambiando lo stato di un oggetto arrossato, ma il concetto di rossore, in sé, non cambia.

NOTA3 del 28/08/26

A proposito della struttura concentrica, ci si potrebbe chiedere come viene stabilito qual è lo Stato Iniziale e qual è lo Stato Finale di un oggetto spaziale. La risposta si trova nel mondo empirico, ma non nella logica, né dentro di noi. E' il mondo a decidere che un uomo sarà prima un bambino e poi un adulto. E' il mondo a decidere che il camion è fermo al semaforo, e poi si mette in moto. E' il mondo a decidere il verso di rotazione di un cubo. Il nostro cervello non fa altro che elaborare informazioni provenienti dal mondo esterno, o all'occorrenza dalla nostra immaginazione, ed effettuare operazioni logiche su di esse per trarne conseguenze, precedenti e cause. Ma la struttura concentrica si rende comunque necessaria, perché consente di riconoscere il medesimo oggetto in tutte le sue fasi. Altrimenti lo stato iniziale e quello finale ci sembrerebbero due oggetti separati e non saremmo capaci di ricondurli al medesimo oggetto.

NOTA4 del 28/08/26

Nella prossima immagine vediamo una dimostrazione cartesiana del fatto che la parte estranea/complessiva {1 - K} può assumere qualsiasi valore compreso tra "0" ed "1". Nel caso più semplice abbiamo le due rette:

y = x

1- y = (1 - x){1 - K}, cioè, y = (1 - K)x + K;

(casi più complessi, con più variabili, richiederebbero figure multidimensionali difficili da intuire)

In base al Principio di Dualità, gli unici valori ammessi per x ed y sono P(0;0) e P(1;1). Ebbene, vediamo che man mano che la retta verde "y = (1 - K)x + K" ruota da "y = x" (quando {1 - K} = 1) a "y = 1" (quando {1 - K} = 0), allora abbiamo sempre P(1;1). Mentre P(0;0) viene ammesso solo inizialmente per {1 - K} = 1. Quindi, in definitiva, i valori ammessi sono: "x = 0, y = 0, {1 - K} = 1" oppure "x = 1, y = 1, 0<={1 - K}<=1". Si noti che, in accordo con quanto abbiamo scritto nella Parte 1 di queste Applicazioni, l'intera Teoria dell'Estensione nello Spazio risulta falsa se "x = 0, y = 0, {1 - K} <> 1".

Applicazioni dell' Estensione nello Spazio - Parte 4

Riprendiamo l'argomento lasciato in sospeso nella Parte 3, cioè l'applicazione dell'Estensione nello Spazio all'algebra booleana. Di seguito vengono nuovamente riportate le figure precedenti, contenenti le "formule magiche". Bè, chi ha letto le prime due parti avrà già capito che si tratta semplicemente della trascrizione dei teoremi di De Morgan, per cui se "p = p1 or p2" allora "not p = not p1 and not p2", dove "not p" si riscrive "1 - p", con l'unica aggiunta della parte estranea/complessiva per gli oggetti spaziali, che viene riscritta come {1 - k}. Un aspetto curioso della faccenda è il fatto che nel libro di George Boole, "Indagine sulle leggi del pensiero", non c'è alcun riferimento alle leggi di De Morgan, nonostante i due si frequentassero e fossero amici.

Soffermiamoci su alcuni dettagli presenti nelle due figure.

LA SOMMA

In alto appare la somma "p = p1 + ... + pn".

Ipoteticamente si potrebbe pensare che "p" sia un insieme, in quanto somma di n elementi. Non è così. "p" è solamente l'elemento generico, mentre i "pj" sono elementi specifici. Ricordiamoci infatti che "+" corrisponde ad OR. Invece l'insieme di elementi è dato dalla riga sottostante, cioè il prodotto: 

"C = (1 - p) = (1 - p1) … (1 -pn)"

Un altro dubbio è che questo elemento generico "p" possa contraddire il principio di dualità, in quanto assumerebbe un valore maggiore di "1". Infatti nell'ipotesi in cui gli elementi "pj" siano veri, potremmo ottenere: "5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1". Il problema si risolve leggendo il capitolo di George Boole dedicato alle "Abbreviazioni". George Boole ci fa notare che qualsiasi valore maggiore di uno equivale ad uno, per cui "5 = 1 = True". D'altronde se dico "un gatto oppure un gatto oppure un gatto" sempre di un gatto si tratta, non di tre gatti. Un altro esempio interessante di "Abbreviazione" riportato da George Boole è questo: "x + xy = x" D'altronde se dico "un gatto oppure un gatto bianco", sempre di gatto si tratta.

MONOMIO NULLO

Qui entriamo nel vivo dell'estensione nello spazio. In una situazione ideale gli elementi devono escludersi l'un l'altro. Pertanto moltiplicati fra loro devono annullarsi. Immaginiamo i punti del cerchio. Ogni punto esclude l'altro. Sono separati e non possono coincidere. Analogamente le molecole d'acqua: è una molecola, oppure un'altra. Da ciò ne deriva che il polinomio ha solo variabili di primo grado:

"C = (1 - p) = (1 - p1) (1 - p2) … (1 -pn) = 1 - p1 - p2 - ... - pn"

Dal prodotto si ritorna alla somma di cui sopra.

La prossima immagine aiuta a capire, tramite i diagrammi di Venn, l'ipotesi di esclusione reciproca degli elementi.

I RAGGRUPPAMENTI

Un presupposto interessante della Teoria dell'Estensione nello Spazio è che l'operatore unario di negazione NOT può essere reinterpretato come un insieme, cioè come un raggruppamento di oggetti. Quindi se "p" è un punto, allora "1 - p" è l'insieme dei punti. Può sembrare strano il fatto che "1 - x" sia l'insieme degli elementi "x", ma in realtà è così. Per esempio se "x = y" allora l'insieme degli x è uguale all'insieme degli y, cioè "1 - x = 1 - y". Altro esempio: se un essere umano è uomo o donna, allora l'insieme di tutti gli esseri umani è dato dall'insieme degli uomini e delle donne. Cioè se "e = u + d", allora "(1 - e) = (1 - u) (1 - d)", ammettendo che "ud = 0", dato che uomini e donne si escludono tra loro.

In particolare risulta quanto segue:

"0 = 1 - 1" corrisponde al raggruppamento di tutto ciò che è vero 

(Insieme Universo)

"1 = 1 - 0" corrisponde al raggruppamento del falso 

(Insieme Vuoto)

Qualsiasi funzione F(x) del concetto x può essere negata e reinterpretata come funzione G(1-x) del raggruppamento "1 - x". Concetti e raggruppamenti sono diverse facce di una stessa medaglia e sono entrambi sottoposti al principio di dualità, cioè possono essere "0" oppure "1". Sarebbe interessante sapere se alcuni problemi non computabili di Teoria degli Insiemi possono essere raggirati pensando gli insiemi in questo modo più semplice.

LA PARTE ESTRANEA/COMPLESSIVA {1 - K}

La presenza della parte estranea/complessiva è ciò che distingue un oggetto spaziale da un oggetto non-spaziale. Coerentemente con quanto abbiamo detto, ciò che precedentemente veniva scritto "{I(K)}" viene qui riscritto come {1 - K}. Una cosa fondamentale da notare è che la parte estranea/complessiva non rispetta il Principio di Dualità, ma può assumere qualsiasi valore "0 <= {1 - k} <= 1". Infatti quando gli elementi "pj" sono veri, cioè "1", allora "0 = (1 - p) = (1 - p1) ... (1 - pn) {1 - k}" per qualsiasi valore "0 <= k <= 1". Questo vuol dire che la parte estranea/complessiva non è un concetto, nè un raggruppamento. Non deve sorprenderci. Lo stesso George Boole aveva previsto l'esistenza di parametri, che non rispettano il Principio di Dualità. Per esempio la proposizione particolare "alcuni X sono Y" corrisponde a "vX = wY", dove "v" e "w" sono frazioni dell'unità, quote parti, che possono assumere qualsiasi valore compreso tra zero ed uno.

NOTE:

NOTA1 del 08/08/2026:

Un esempio interessante di reinterpretazione dei concetti in termini di raggruppamenti è dato proprio dal Principio di Dualità "x(1-x) = 0" Apponendo il prefisso "1-" il Principio di Dualità può essere riscritto come di seguito: 

"(1-(1-x))(1-x) = 1 - 1" 

Il che vuol dire: "il raggruppamento di tutto ciò che non è x, e di tutto ciò che è x, ci restituisce l'Insieme Universo"

NOTA2 del 08/08/2026:

se "x = y" allora l'insieme degli x è uguale all'insieme degli y. Alcuni di voi potrebbero trovare sbagliata l'affermazione precedente. Infatti, anche se "x = y", cionondimeno l'insieme degli x potrebbe contenere 2 elementi, mentre l'insieme degli y potrebbe contenerne 5, per cui i due insiemi risulterebbero complessivamente diversi tra loro, anche se i loro elementi sono uguali.

Supponiamo che x possa essere in 2 modi diversi, mentre y in 5 modi. In tal caso avremmo quanto segue, assumendo che gli elementi siano distinti e che quindi moltiplicati tra loro si annullino.

(x1 + x2) = (y1 + y2 + y3 + y4 + y5)

(1 - x1) (1 - x2) = (1 -y1) (1- y2) (1- y3) (1- y4) (1- y5)

Ma allora, perchè i due insiemi ci sembravano diversi ? In realtà ci sembravano diversi solamente perchè la figura precedente non era un diagramma di Venn, bensì una rappresentazione spaziale contenente punti distanziati tra loro. Il tutto apparirà più chiaro con la prossima immagine corretta.

Quindi quei cerchi sono due oggetti spaziali che andrebbero riscritti come di seguito:

(1 - x1) (1 - x2) {1 - K} <> (1 -y1) (1- y2) (1- y3) (1- y4) (1- y5) {1 - J}

con le parti estranee/complessive che descrivono le distanze tra i punti. Un insieme che contiene "fisicamente" un certo numero di elementi separati è un oggetto spaziale, non un semplice raggruppamento, né un diagramma di Venn.  Occorre non fare confusione e andare oltre le apparenze.