Amici, nella Parte 1 abbiamo saggiato l'efficacia della formula dell'Estensione nello Spazio, cioè quella casistica particolare della legge matematica più generale di Augustus de Morgan, la quale determina lo spartiacque tra il mondo materiale e il mondo immateriale, perchè consente di distinguere oggetti spaziali, come figure geometriche e corpi materiali da oggetti non-spaziali, come insiemi astratti, colori, concetti e via dicendo.
Nel link precedente:
abbiamo visto come la formula consente di dimostrare la non-spazialità degli insiemi numerici a fronte della spazialità delle coniche e dei punti nello spazio cartesiano, inoltre abbiamo dimostrato alcuni teoremi.
Nel blog potete trovare altri link sull'argomento, che sicuramente avrete già letto, per esempio questo:
Che dire ? D'altronde lo Spazio è una cosa così importante, che non si poteva credere ad una sua natura meramente percettiva, altrimenti sarebbe stato solamente un'illusione dei sensi. Invece lo spazio corrisponde ad una struttura logico-matematica ben precisa e la nostra interpretazione entra solo in un secondo tempo.
In questo topic parleremo di un'altra applicazione dell'Estensione nello Spazio, cioè l'ipotesi del Continuo di Georg Cantor, il quale affermava che se "N0" è la cardinalità dell'insieme dei numeri interi, allora "2^N0 = N1" è la cardinalità dell'insieme dei numeri reali, cioè dei punti sulla retta. Per cui "2^N0" costituirebbe il passaggio dal "discreto" al "continuo".
Si è dibattuto molto sulla liceità della dimostrazione di Cantor e sulla possibile esistenza di una cardinalità intermedia tra le due. Ancora oggi, nel 2026, sembra tutto davvero molto complicato. Ma adesso vedremo che la formula dell'Estensione nello Spazio rende tutto più semplice...ed incredibilmente dà ragione a Georg Cantor, per quanto le sue idee potessero sembrare stravaganti.
Per dimostrare la formula di Georg Cantor in termini di Estensione nello Spazio procederemo in modo molto semplice, così che possa capire chiunque. Divideremo quindi questo topic in quattro sezioni: L'esempio della libreria, L'esempio dell'insieme, L'Estensione nello Spazio, Conclusioni.
L'esempio della libreria
Immaginiamo uno scaffale contenente tre libri, come nella prossima figura.
Non è necessario ipotizzare che i libri siano infiniti. E' sufficiente supporre che siano solamente tre.
Ora, dato quell'insieme di tre libri, quanti sotto-insiemi possiamo immaginare ? La risposta è: l'insieme potenza, cioè P(3), che corrisponde a "2^3" sottoinsiemi di libri. Sono 8 sottoinsiemi e li disegniamo di seguito. Una cosa però: togliamo l' "insieme vuoto" ! Perchè l'insieme vuoto NON è un insieme di libri, giacchè non ne contiene nessuno. Quindi abbiamo che i "sottoinsiemi di libri" sono esattamente 7, cioè "2^3 - 1".
Ora la domanda è questa:
come facciamo ad aggiungere altri "sotto-insiemi di libri" ?
E' forse impossibile ?
Ricordiamoci che in totale i libri sono tre !!!
No!
Un modo c'è !
Proviamo a mettere un libro sopra l'altro.
In questo modo, utilizzando lo spazio, possiamo creare altri sottoinsiemi di libri, mettendoli uno sopra l'altro, come nella figura seguente:
Vediamo quindi, che per passare da "2^3 - 1" a "2^3" sottoinsiemi diversi di libri dobbiamo RICORRERE ALLO SPAZIO. Cioè, lo spazio ci consente di superare "2^N - 1" per arrivare direttamente a "2^N" ed oltre ! Forse qualcuno di voi ha già capito. Passiamo al prossimo esempio.
L'esempio dell'insieme
Scriviamo un insieme astratto di 3 elementi.
Anche in questo caso, non è necessario ipotizzarne infiniti.
I = {x1,x2,x3}
Come nel caso della libreria, anche qui possiamo generare P(3) sottoinsiemi. Di nuovo, togliamo l' "insieme vuoto", perchè l'insieme vuoto NON è un insieme di elementi, giacchè non ne contiene nessuno. Quindi abbiamo complessivamente "2^3 - 1" sottoinsiemi.
Poniamoci nuovamente la domanda:
come facciamo ad aggiungere altri "sotto-insiemi di elementi" ?
E' forse impossibile ? No! Un modo c'è !
Passiamo alle ennuple, cioè gli insiemi ordinati di elementi.
Per esempio aggiungiamo il seguente sottoinsieme:
{{x1}{x1,x2}}
Vediamo quindi che le ennuple ci consentono di superare "2^N - 1" per arrivare direttamente a "2^N" ed oltre ! Ma le ennuple sono oggetti spaziali ! Perchè sono ordinate ! Infatti con la formula dell'Estensione nello Spazio una ennupla può essere scritta come di seguito:
e = x1 or x2
I(e) = I(x1) and I(x2) and {I(K)}
Dove {I(K)} vuol dire: "metti prima x1 e poi x2"
Vediamo quindi che, come nel caso precedente della libreria, anche per un insieme generico di N elementi, il passaggio da "2^N - 1" a "2^N" richiede LA PRESENZA DELLO SPAZIO!
L'Estensione nello Spazio
Eccoci quindi arrivati alla terza sezione del topic. A questo punto scriviamo direttamente la formula dell'Estensione nello Spazio:
x = x1 or ... or xn
I(x) = I(x1) and ... and I(xn) and {I(K)}
Dove {I(K)} è la parte estranea/complessiva.
Anche in questo caso, se gli elementi x sono N, possiamo generare "2^N - 1" sottoinsiemi di elementi x. Se volessimo passare a "2^N" sottoinsiemi, cioè aumentare anche di una sola unità, allora dovremmo aggiungere necessariamente la parte estranea/complessiva {I(K)}, che è proprio quella che distingue un oggetto spaziale da un oggetto non-spaziale !!!
Conclusioni
Georg Cantor ci aveva azzeccato !!!
Se abbiamo N elementi, allora 2^N richiede necessariamente la presenza dello spazio. Il passaggio da N a 2^N comporta necessariamente il passaggio da un insieme astratto ("discreto" nei termini di Georg Cantor) ad un insieme geometrico ("continuo" in quei termini). Georg Cantor lo ha dimostrato nel caso in cui N è infinito, complicandosi davvero la vita. Ma l'Estensione nello Spazio mette in evidenza che la regola è valida per qualsiasi valore finito di N.
Sicuramente l'argomento è complesso, interessante, e meriterebbe ulteriori approfondimenti matematici, filosofici e scientifici, che forse non è qui il luogo adatto. In particolare, la terminologia "discreto/continuo" non è proprio identica a "non-spaziale/spaziale" da noi utilizzata, vero ?
In un prossimo topic vedremo come la formula dell'Estensione nello Spazio può aprire nuove frontiere: nell'ambito dei circuiti elettronici, della teoria dei quanti e dell'intelligenza artificiale !
NOTE
NOTA 1 del 28/05/26:
oltre ai due link citati all'inizio del topic, ci sono anche questi altri due che riassumono la teoria dell'Estensione nello Spazio:
In particolare il secondo è interessante perchè accenna allo sviluppo dei diagrammi di Venn, che meriterebbe una trattazione a parte più approfondita che scriverò in seguito.
NOTA 2 del 28/05/26:
nel corso degli anni il modo di esporre l'Estensione nello Spazio è un pò cambiato, ma i concetti sono rimasti gli stessi. Per esempio, potete notare che nei primi post la funzione "raggruppamento di X" veniva espressa come "N(X)", mentre in seguito è stata riscritta come "I(X)". Anche la parte estranea/complessiva è stata scritta di volta in volta come "X", "{N(K)}", "{I(K)}". Queste diverse nomenclature non devono ingannarvi, nè generare confusione, perchè sono equivalenti. Semplicemente nel corso del tempo l'esposizione degli stessi concetti è stata aggiornata, per cui:
"N(X) = I(X)".
"X = {N(K)} = {I(K)}".
Inizialmente, "N(X)", voleva esprimere il fatto che la funzione raggruppamento era una diversa interpretazione dell'operatore "NOT" di Augustus de Morgan, inoltre "N" significava anche "Number", cioè pluralità. Poi però si è scelto "I(X)" per evidenziare che i raggruppamenti sono insiemi "I" e che vanno interpretati in tal senso.
NOTA 3 del 28/05/26:
il fatto che le ennuple siano oggetti spaziali, al contrario degli insiemi che risultano incorporei, è una diretta conseguenza della formula dell'Estensione nello Spazio. Come già scritto, le ennuple presumono un ordinamento, e quindi un orientamento, come le stringhe: dall'alto verso il basso, da sinistra verso destra, oppure sulla base di un diverso criterio spaziale che noi umani non potremmo neanche immaginare. In particolare, vorrei soffermarmi sul problema della cardinalità di un'ennupla di N elementi, che è diversa da quella di un insieme. Il problema della cardinalità delle ennuple non è mai stato affrontato prima. Forse è la prima volta su questo topic. Diciamo subito che se la cardinalità di un insieme di N elementi è "N", così non è per una ennupla. Infatti l'ordinamento di un'ennupla è arbitrario. Ciascuno dei suoi N elementi è candidato per essere il primo. Per esempio l'enumerazione potrebbe partire da destra verso sinistra, o dal centro, invece che da sinistra verso destra. Quindi il primo elemento "x1" di un'ennupla potrebbe essere uno qualsiasi dei suoi N elementi. Da ciò ne deriva che il secondo elemento "x2" di un'ennupla potrebbe essere ancora uno qualsiasi dei suoi elementi, purchè non il precedente, che è stato già scelto, quindi gli rimangono (N - 1) possibilità. Analogamente, quando scegliamo il terzo elemento dell'ennupla, ci rimangono ancora (N- 2) possibilità, e così via, fino ad esaurimento. Da tutta questa argomentazione ne consegue che il Cardinale di un'Ennupla è il Fattoriale di N, cioè N!, mentre il cardinale di un'insieme è solamente N, perchè dipende esclusivamente dalla numerosità dei suoi elementi, che non sono ordinabili. Il Fattoriale di N, cioè "N!", è superiore a "2^N - 1", per cui sicuramente le ennuple sono estese nello spazio. Una possibile obiezione a questa argomentazione, è il fatto che una ennupla è ordinata in un unico modo, per cui il suo cardinale sarebbe "1". Ma questa obiezione non è consistente, perchè allora anche il cardinale di un insieme sarebbe "1", dal momento che l'insieme è un oggetto unico. Quindi sicuramente il cardinale di un'ennupla è il fattoriale di N.
