il segreto dell'estensione nello spazio

 “La Geometria non insegna la descrizione delle linee rette e dei circoli, ma la postula. Richiede che, prima di pervenire ai suoi ammaestramenti, si sappiano già descrivere; dopodiché insegna come si risolvono dei problemi per mezzo di tali operazioni. Perciò, descrivere la retta ed il circolo non sono problemi geometrici. (Principi di Filosofia Naturale di Isaac Newton)

Questo post è dedicato ad un argomento molto interessante:

per la prima volta si vuole spiegare l’estensione nello spazio in termini logico-matematici, cioè, distinguere un elemento incorporeo, come un numero o una variabile, da un elemento corporeo, spazialmente esteso, come una figura geometrica.

Nella vita di tutti i giorni si traduce nella possibilità di distinguere logicamente concetti astratti, come la bellezza, la giustizia, la felicità, la lunghezza, il colore, e via dicendo, da oggetti materiali, estesi nello spazio, come figure geometriche, cristalli, pianeti, animali e persone. L’estensione nello spazio, cioè l’esistenza di punti sul piano, segmenti, triangoli, solidi, e via dicendo, è sempre stata posta come assioma, o come “percezione sensibile”, ma di seguito vedremo che può ricondursi ad una particolare struttura logica. La capacità di distinguere il corporeo dall’incorporeo è innata ed istintiva negli esseri umani, difficilissima per le macchine, e  finora non si era mai trovato un criterio razionale per definirla.

Fino ad oggi la matematica ha tentato di distinguere il discreto dal continuo, ma non si è mai occupata del problema molto più importante e generico di distinguere l’incorporeo dal corporeo, laddove il discreto e il continuo sono solamente casi specifici del corporeo.

Tanto meno si è occupata di questo problema la logica, che ha sempre posizionato elementi corporei tra le variabili proposizionali generiche “x” ed elementi incorporei tra le proprietà “F” attribuibili ad “x”,  x-->Fx, senza mai spiegare in cosa consista la differenza tra loro.

Corporeo ed incorporeo

Iniziamo con un criterio discorsivo, dopodichè si proseguirà con una definizione rigorosa. Innanzitutto possiamo evidenziare una caratteristica che distingue gli oggetti incorporei da quelli corporei: i primi sono omogenei, mentre i secondi sono eterogenei, in quanto possiedono qualità complessive indipendenti dal loro contenuto. Iniziamo con alcuni esempi di oggetti incorporei.

Il numero 2 è incorporeo e infatti è omogeneo: può riferirsi solamente ad oggetti che partecipano della sua idea di 2, come due mele, due arance, due occhi, però non a un singolo occhio o a una singola mela, perché questi ultimi non partecipano della sua idea di 2.

La giustizia è un'idea incorporea e infatti è omogenea: può riferirsi solamente a oggetti che partecipano dell'idea di giustizia, cioè i poliziotti, i magistrati, gli eroi e via dicendo, ma non a una mela o a una gamba, perché la mela e la gamba non hanno niente a che fare con l'idea di giustizia.

Passiamo adesso agli oggetti corporei.

il triangolo è corporeo e infatti è eterogeneo: può contenere punti, cateti e un cerchio inscritto in esso, ma complessivamente può riferirsi a delle qualità che non hanno niente a che fare con gli elementi contenuti al suo interno. Infatti può riferirsi alle piramidi egizie, alle segnaletiche stradali, ai rapporti amorosi, e a tanti altri concetti che sono attinenti all’idea complessiva di triangolo ma non agli elementi contenuti al suo interno. 

Un essere umano è corporeo e infatti è eterogeneo: contiene protoni, neutroni ed elettroni, ma complessivamente può riferirsi a delle qualità che non hanno niente a che fare con gli elementi contenuti al suo interno. Infatti può riferirsi alla bellezza, all’intelligenza, alla capacità di amare, nutrirsi e a tanti altri concetti che sono attinenti all’idea complessiva di umano ma non agli elementi contenuti al suo interno.

Un tipico esempio di differenza tra oggetto incorporeo e corporeo è la differenza tra la bellezza e Miss Italia. La bellezza è incorporea e infatti è omogenea: può riferirsi solamente a concetti che partecipano dell’idea di bellezza, come l’armonia, la giovinezza, i concorsi, i balli, e via dicendo, ma non alle otturazioni dentali, perché queste ultime non hanno niente a che fare con l’idea di bellezza. Al contrario, Miss Italia è corporea e infatti è eterogenea: contiene ossa, muscoli e otturazioni dentali, ma complessivamente può riferirsi a quei concetti complessivi di umanità e bellezza.

Un altro esempio interessante è la differenza tra il tramonto e l’atmosfera.

Il tramonto è un’idea incorporea e infatti è omogeneo: può riferirsi solamente a oggetti che partecipano dell’idea di tramonto, come il Sole, le nuvole, il panorama e l’orizzonte, ma non all’idrogeno e all’azoto, perchè questi ultimi non hanno niente a che fare con l’idea di tramonto. Al contrario l’atmosfera è corporea e infatti è eterogenea: contiene idrogeno e azoto, ma al tempo stesso può riferirsi al Sole, alle nuvole, al panorama, all’orizzonte e a tutti quei concetti che sono attinenti all’idea complessiva di atmosfera.

Tramite tutti questi esempi abbiamo visto che gli oggetti corporei sono ambigui, perché contengono elementi complessivi non pertinenti al loro contenuto.

Come possiamo descrivere in termini logici questo concetto ?

Innanzitutto iniziamo col definire cosa si intende per “complessivo”.

Un singolo oggetto può essere definito tramite una serie di condizioni “or”, cioè di somme logiche, che caratterizzano i suoi diversi modi di essere, mentre la sua visione complessiva corrisponde ad una serie di relazioni “and”, cioè ad un prodotto logico, che lega indissolubilmente tra loro, in un unico insieme, quei diversi modi di essere. Ad esempio:

L = T or C

N(L) = N(T) and N(C)

Con questa espressione diciamo che il singolo lancio di una moneta, “L”, restituisce testa o croce, “T or C”, mentre l’insieme di tutti i lanci della moneta, “N(L)”, corrisponde ai lanci che danno testa, più i lanci che danno croce, “N(T) and N(C)”.

La funzione N(x) può significare “raggruppamento di x”, oppure “insieme di x”, e si rende necessaria perché altrimenti il prodotto logico restituirebbe l’insieme vuoto, dal momento che le singole opzioni sono alternative tra loro, cioè: “T and C = insieme vuoto”.

La funzione N(x) non si riferisce ad una molteplicità specifica, non è detto che i singoli oggetti debbano essere più di uno. Nell’esempio precedente i lanci di una moneta possono essere infiniti, ma in altri casi la molteplicità è solamente uno. Nel prossimo esempio vediamo che una mano può essere la destra o la sinistra, quindi l’insieme di tutte le mani è dato dalla destra più la sinistra, con le molteplicità che sono rispettivamente due, uno ed uno.

mano = destra or sinistra

N(mano) = N(destra) and N(sinistra)

Inoltre, si noti che le condizioni “and” richiedono che gli oggetti siano legati indissolubilmente nell’insieme complessivo, per cui, eliminando anche una sola opzione, tutto l’insieme risulta non valido.

Ad esempio, una singola mano può essere la destra, e non la sinistra, ma l’insieme complessivo deve contenere necessariamente sia la destra che la sinistra. Allo stesso modo, l’insieme di tutti i lanci di una moneta deve contenere sia i lanci che danno testa, che quelli che danno croce, anche se, casualmente, uno dei due casi non si verifica mai.

I due esempi visti finora si riferivano ad oggetti incorporei. 

I lanci di una moneta sono eventi incorporei, perché non hanno estensione spaziale. Allo stesso modo l’insieme delle mani è incorporeo, non ha estensione spaziale, perché si tratta solamente di un concetto, anche se gli elementi di quest’ultimo insieme, cioè le singole mani, sono corporee. 

Si noti infatti che un oggetto incorporeo può essere costituito da elementi corporei: l’insieme dei cavalli è incorporeo, non ha altezza, larghezza e spessore, ciononostante i singoli cavalli lo hanno.

Idem per l’insieme delle patate o degli alunni di una classe.

Passiamo adesso agli oggetti corporei.

Avevamo detto che gli oggetti corporei sono ambigui, perché hanno parti complessive estranee al loro contenuto. Questo concetto può essere riassunto tramite le seguenti due espressioni:

A = B1 or B2 or… or Bn

N(A) = N(B1) and N(B2) and … and N(Bn) and X

Nella prima espressione vediamo che il singolo componente A può essere in “n” modi diversi, come abbiamo già visto precedentemente nel caso dei singoli lanci delle monete o delle singole mani.

Nella seconda espressione invece, vediamo che l’insieme complessivo di questi elementi, N(A), contiene una parte estranea/complessiva “X”, che non è afferente agli elementi della prima espressione, e che appare solamente nel prodotto logico. In altre parole, gli oggetti corporei comportano la rottura della corrispondenza biunivoca tra elementi in somma logica ed elementi in prodotto logico, che invece caratterizzava gli oggetti incorporei, con l’aggiunta di un elemento estraneo “X” nel prodotto logico.

Vediamo alcuni esempi.

La prossima immagine raffigura un quadrato.

Il quadrato può essere descritto tramite le seguenti due espressioni:

T = T1 or T2 or T3 or T4

Quadrato = N(T) = N(T1) and N(T2) and N(T3) and N(T4) and X

La prima espressione significa che il generico elemento T che lo compone può essere il triangolo T1 or T2 or T3 or T4. La seconda espressione significa che il quadrato, oltre a contenere l’insieme degli elementi T, deve avere un componente X, estraneo/complessivo ai singoli elementi, che nello specifico potrebbe indicare: 

X = “ha tutti i lati uguali”, altrimenti non sarebbe un quadrato.

Quindi X è una proprietà di N(T), esattamente come i singoli N(Tj).

Si noti che se invece di scrivere X="ha tutti i lati uguali", avessimo scritto X="ha gli elementi uno sotto l'altro", oppure X="ha gli elementi uno accanto all'altro", avremmo ancora ottenuto oggetti corporei estesi nello spazio, come si deduce dalla prossima immagine. E’ solamente la mancanza dell'elemento X che rende l'oggetto incorporeo, riducendolo ad una lista astratta di triangoli, senza estensione spaziale.

Vediamo altri esempi di oggetti corporei.

Osservate la figura seguente, corrispondente ad un mobile con due cassetti e la base.

Il mobile può essere descritto tramite le seguenti due espressioni:

M = a1 or … or an or b1 or … or bn or c1 or … or cn

Mobile = N(M) = N(aj) and N(bj) and N(cj) and X

La prima espressione significa che il generico elemento M che lo compone può essere un generico componente aj del primo cassetto, oppure un generico componente bj del secondo cassetto, oppure un generico componente cj della base. La seconda espressione significa che il mobile, oltre a contenere l’insieme dei due cassetti e della base, deve avere un componente X, estraneo/complessivo ai singoli elementi, che sta ad indicare che i due cassetti e la base sono messi uno sotto l’altro, X = “uno sotto l’altro”. Altrimenti i cassetti e la base non sarebbero connessi nello spazio.

Osservate la figura seguente, corrispondente all’insieme dei punti B1, B2, B3 e B4.

L’insieme dei punti B1, B2, B3, B4 può essere descritto tramite le seguenti due espressioni:

A = B1 or B2 or B3 or B4

N(A) = N(B1) and N(B2) and N(B3) and N(B4) and X

La prima espressione significa che il generico punto A può essere B1 or B2 or B3 or B4. La seconda espressione significa che l’insieme N(A) di quei punti, oltre a contenere i singoli punti Bn, deve contenere un elemento X, estraneo/complessivo ai singoli elementi, che sta ad indicare X = “equidistanti dal punto C”, altrimenti sarebbe un insieme astratto e non un insieme corporeo di punti sul piano.

Si noti che se invece di scrivere X=" equidistanti dal punto C ", avessimo scritto X="equidistanti tra loro", avremmo ancora ottenuto un insieme corporeo di punti sul piano. E’ solamente la mancanza dell'elemento X che rende l'insieme astratto e incorporeo, senza estensione spaziale.

I prossimi esempi riguardano nello specifico la matematica.

Un insieme di numeri, finito o infinito, è incorporeo, non ha estensione spaziale, e possiamo scriverlo come:

I = {1, 2, 3, 4 ,… }

Con il nostro procedimento, quell’insieme può essere descritto tramite le seguenti due espressioni:

n = 1 or 2 or 3 or 4 or …

N(n) = N(1) and N(2) and N(3) and N(4) and …

La prima espressione significa che il generico elemento n che lo compone può essere il numero 1 o il 2 o il 3 o il 4 e così via. La seconda espressione significa che l’insieme di quei numeri contiene 1 e 2 e 3 e 4 e così via.

Adesso proviamo ad aggiungere un elemento X nel prodotto logico, estraneo/complessivo ai singoli elementi, ad esempio X=”ordine crescente”, come di seguito: N(n) = N(1) and N(2) and N(3) and N(4) and … and X.

Ebbene, vediamo che aggiungendo l’elemento estraneo/complessivo X dell’ordine crescente quell’insieme incorporeo è diventato corporeo, perché i numeri in ordine crescente possono essere disposti su una retta, un termometro, un orologio, che guarda caso sono tutti oggetti corporei estesi nello spazio. Infatti l’ordine crescente presuppone un orientamento dal basso verso l’alto, o da sinistra verso destra, che sono tutti concetti inerenti l’estensione nello spazio.

Vediamo l’esempio seguente.

Un punto P dello spazio cartesiano ad “n” dimensioni può essere scritto come P=(x1,x2,x3,…,xn).

Con il nostro procedimento, quel punto può essere descritto tramite le seguenti due espressioni:

r = x1 or x2 or x3 or … or xn

P = N(r) = N(x1) and N(x2) and N(x3) and … and N(xn) and X

La prima espressione identifica un generico numero reale “r”, che può essere x1 or x2 or x3 or … or xn.

La seconda espressione identifica il punto P, che oltre a contenere i singoli numeri reali “r”, deve avere un componente X, estraneo/complessivo ai singoli numeri, che sta ad indicare che “i numeri sono coordinate nello spazio”, altrimenti sarebbe solamente un insieme astratto di “n” numeri. Questo elemento X caratterizza il punto nello spazio come un oggetto corporeo, dal che ne risulta che tutti gli oggetti dello spazio cartesiano, come le funzioni matematiche, sono corporei, cioè estesi nello spazio. La mancanza di X, invece, degrada il punto ad un’insieme incorporeo di numeri reali.

Infine, chiudiamo questo paragrafo riprendendo uno degli esempi precedenti, quello sulla differenza tra la bellezza, che è incorporea, e Miss Italia, che è corporea.

La bellezza può essere descritta tramite le seguenti due espressioni:

esempio = armonia or gioventù or seduzione

Bellezza = N(esempio) = N(armonia) and N(gioventù) and N(seduzione)

La prima espressione identifica un singolo esempio di bellezza, che può essere l’armonia, la gioventù o la seduzione. La seconda espressione caratterizza la bellezza come l’insieme di tutti questi singoli esempi, dove gli elementi “or” sono in perfetta corrispondenza biunivoca con gli elementi “and”, senza nessuna parte estranea/complessiva X.

Invece Miss Italia può essere descritta tramite le seguenti due espressioni:

Elemento = osso or muscolo or otturazione dentale

Miss Italia = N(Elemento) = N(osso) and N(muscolo) and N(otturazione dentale) and X

La prima espressione significa che il generico elemento che compone Miss Italia può essere un osso, un muscolo o un’otturazione dentale. La seconda espressione significa che Miss Italia, oltre a contenere l’insieme di quegli elementi,  deve avere un componente X, estraneo/complessivo ai singoli elementi, che sta proprio a significare la bellezza, l’armonia e la seduzione, che caratterizzano complessivamente Miss Italia.

Diagrammi tridimensionali di Eulero-Venn

I due paragrafi precedenti consentono di immaginare gli oggetti del nostro pensiero in maniera duale. Ogni oggetto ha una doppia faccia: può essere visto come singolo elemento o come insieme, a seconda che si scelga di utilizzare l'operatore "or" oppure "and". Come possiamo vedere dalla prossima immagine, questa doppia faccia di uno stesso oggetto comporta la sua raffigurazione metaforica tramite un diagramma di Eulero-Venn tridimensionale. Una delle due proiezioni ortogonali corrisponde alla visione "or", dove i componenti sono vicendevolmente esclusivi e la loro intersezione restituisce l'insieme vuoto. L'altra proiezione ortogonale corrisponde alla visione "and", dove i componenti si intersecano tra loro per restituire l'insieme complessivo. Ad esempio, il singolo lancio di una moneta può dare testa o croce, e una delle due opzioni esclude l'altra, però, l'insieme dei lanci che danno testa e di quelli che danno croce non si escludono, ma si intersecano per restituire l'idea complessiva di lancio.

Di seguito vediamo la raffigurazione metaforica di un oggetto corporeo, esteso nello spazio.

Ricordiamo che gli oggetti corporei sono caratterizzati dalla presenza di un elemento X estraneo/complessivo agli elementi in somma logica, che va ad aggiungersi nel prodotto logico. Il diagramma di Eulero-Venn che ne risulta corrisponde ad una strana figura tridimensionale, che potremmo chiamare “giunzione”. L’elemento estraneo/complessivo sembra un chiodo che penetra la figura tridimensionale per tenerne unite le parti.

 

Il libro

Attualmente l’autore ha pubblicato il libro “L’estensione nello spazio”, edito da YouCanPrint nel gennaio 2022, che per la prima volta definisce la corporeità e l’estensione nello spazio sulla base di questi concetti. Nel libro vengono risolte altre questioni importanti, come la differenza tra astratto e concreto, il passaggio dalla potenza all’atto e lo spaziotempo, sempre avvalendosi di una medesima metodologia, basata sul criterio kantiano della distinzione tra giudizi analitici e sintetici. A breve uscirà una seconda edizione del libro contenente alcune migliorie, più i riferimenti alla Logica Proposizionale e ai diagrammi tridimensionali di Eulero-Venn che avete già letto qui.