La Scienza di Leo: perchè ci piace la musica?

Già, perché ? Sono molti i filosofi, gli scienziati e i musicologi, che tentano di rispondere a questa domanda. Francamente me lo sono chiesto anch'io, che ascolto molta musica e nel tempo libero suono un po' la chitarra. E se adesso questa domanda non me la pongo più, è perché credo di aver trovato la risposta. Il problema sembra insormontabile se cerchiamo la risposta in un contesto specifico, ma questa risposta rientra in una dinamica più ampia e generica.

Molti studiosi ritengono che il piacere che proviamo ascoltando la musica derivi dalla contemplazione delle regole dell'armonia e della suddivisione dei tempi, che rievocano le leggi universali dell'arte combinatoria, della matematica e della geometria. Questo può essere vero nel caso in cui si ascolti musica barocca, il "progressive rock", l'heavy metal o la melodia italiana. Non lo è però in linea generale, quando per esempio si ascolta un'improvvisazione, un assolo o un ritmo tribale. Per includere questi ultimi casi si ricorre allora all'idea che la musica sia un eco del nostro metabolismo e delle funzioni vitali, cioè del battito cardiaco, del flusso sanguigno e della respirazione, ma anche qui non ne usciamo, perché se così fosse il battito cardiaco e la respirazione sarebbero in cima alle hit-parade. In realtà, come dicevo, il discorso è molto più ampio, e si ricollega anche al fatto che agli esseri umani piace vedere un bel disegno, la televisione, o bere bibite gassate, che invece gli animali rifuggono come il veleno.

Sostanzialmente, il funzionamento della nostra mente prevede un meccanismo di feed-back, che potremmo chiamare "allarme/sollievo". Quando entriamo in contatto con qualcosa di insolito, allora nel nostro cervello scatta un segnale di "allarme". Quando poi, dopo alcune frazioni di secondo, ci rendiamo conto che questo allarme è immotivato, in quanto non sussiste alcun pericolo, allora ne consegue una retroazione di "sollievo". Questa "azione/retroazione" di "allarme/sollievo" è velocissima, poche frazioni di secondo in tutto, perché il nostro cervello, per motivi di opportunità, elabora le informazioni molto più velocemente di quanto noi stessi siamo consapevoli. La nostra coscienza (e a maggior ragione le valutazioni culturali) è molto più lenta di questo meccanismo di "allarme/sollievo", di conseguenza ci rimane solamente una generica sensazione di "piacere" e di "benessere", che risulta misteriosa e inspiegabile. Però, se riuscissimo a suddividere questa misteriosa sensazione di benessere nei suoi costituenti infinitesimali, di cui non siamo consapevoli, ci accorgeremmo che si tratta del feed-back di "allarme/sollievo".

Il prossimo disegno propone un esempio pratico di questo meccanismo di "allarme/sollievo". Quando ci troviamo di fronte ad uno strapiombo, il nostro cervello entra in uno stato di allarme, perché ipoteticamente potremmo precipitare nel vuoto e sfracellarci. Dopo alcune frazioni di secondo però, il nostro cervello realizza che si tratta semplicemente del davanzale di un balcone e che quindi non c'è alcun pericolo, di conseguenza subentra la fase di sollievo. Questa alternanza di allarme e sollievo è talmente veloce che noi, a livello consapevole, avvertiamo solamente una confusa sensazione di piacere e di benessere dalla quale deriva la misteriosa ammirazione del bel panorama.

Di seguito vediamo un altro esempio pratico di questo meccanismo di allarme/sollievo. Quando ci troviamo di fronte ad una belva feroce, il nostro cervello entra in uno stato di allarme, perché ipoteticamente la belva potrebbe sbranarci. Dopo alcune frazioni di secondo però, il nostro cervello realizza che l'animale si trova in gabbia e che non corriamo alcun pericolo, di conseguenza subentra la fase di sollievo. Questa alternanza di allarme e sollievo è talmente veloce che noi, a livello consapevole, avvertiamo solamente una confusa sensazione di piacere e di benessere che proviamo osservando gli animali allo zoo.

Il meccanismo di "allarme/sollievo" è in grado di spiegare quasi tutte le sensazioni di benessere. Per esempio il piacere che proviamo guidando un'automobile è della stessa natura: viaggiando oltre i 50 km/h il nostro cervello entra continuamente in stato di allarme perché ipoteticamente potremmo sfracellarci. Contemporaneamente però, subentra lo stato di sollievo, in quanto ci troviamo solamente al volante della nostra automobile; gli stati di "allarme/sollievo" sono contemporanei, quindi ne scaturisce una generica e confusa sensazione di piacere che proviamo alla guida della nostra auto. Analogamente possiamo spiegare il piacere che proviamo guardando un film: inizialmente il nostro cervello entra in allarme vedendo la rappresentazione di un mostro come King Kong o Frankenstein. Contemporaneamente però subentra lo stato di sollievo che scaturisce dalla percezione che si tratta di una fiction, quindi ne deriva una generica e confusa sensazione di piacere nel vedere il film. Forse anche il piacere che proviamo nel bere bibite gassate e alcooliche è della stessa natura: inizialmente il nostro cervello entra in allarme perché potrebbe trattarsi di sostanze velenose. Contemporaneamente però ci rendiamo conto che così non è, e quindi subentra la misteriosa sensazione di piacere che proviamo nel bere.

Si noti che quando questo meccanismo è deficitario di una delle due fasi, o dell'allarme o del sollievo, allora lo stato di benessere non subentra. Per esempio, se un disegno è fatto male, il meccanismo è deficitario dello stato iniziale di allarme, e quindi non subentra né il sollievo, né il piacere. Se invece lo strapiombo non ha un davanzale, allora il meccanismo è deficitario dello stato di sollievo.

In conclusione, per la musica vale lo stesso discorso.

Il suono procura uno stato di allarme al nostro cervello, perché ipoteticamente potrebbe trattarsi del ruggito di un animale, di un urlo, o del rombo di un tuono. Dopo poche frazioni di secondo il nostro cervello realizza che non sussiste alcuna minaccia e quindi subentra la fase di sollievo. Anche qui, l'alternanza delle due fasi è talmente veloce, che avvertiamo una confusa e indescrivibile sensazione di piacere ascoltando la musica. Di nuovo, se questo meccanismo è deficitario di una delle due fasi, di allarme o di sollievo, allora il piacere dell'ascolto è precluso. Per esempio, una musica monocorde, che ripete sempre la stessa nota, sarà deficitaria della fase di allarme. Mentre una musica informale e atonale, senza regole sintattiche, né temi ricorrenti, sarà deficitaria della fase di sollievo.

Applicazioni dell' Estensione nello Spazio - Parte 5

Eccoci giunti alla terza parte dedicata all'applicazione della teoria dell'Estensione nello Spazio all'algebra booleana. Come abbiamo già detto, l'argomento richiederebbe la stesura di un intero libro e di un intero team di ricercatori, ma noi ce la siamo cavata in soli tre articoli. In quest'ultimo articolo vedremo come sia ipotizzabile la progettazione di un Frankenstein, di un replicante, cioè di un modello di intelligenza artificiale diverso da quello attuale. Nella prossima immagine vediamo C3PO, il robot di Guerre Stellari, accanto a Koros, il comandante meganoide della serie a cartoni animati Daitarn-3. Le immagini sono tratte da jawapedia e da un sito Facebook dedicato agli anime. 

Nel 2026 gli LLM richiedono l'utilizzo di interi datacenter, i quali consumano cospicuamente le risorse energetiche. Inoltre la mente di un LLM è una "tabula rasa" che necessita dell'acquisizione di tutti i dati disponibili nel web nonché dell'impiego di migliaia di laureati da utilizzare come trainers. L'output di questo processo vale quanto lo sforzo effettuato per ottenerlo. Al contrario, un replicante, un Frankenstein, o meganoide che dir si voglia, avrebbe un cervello pesante più o meno 5 kilogrammi. Non avrebbe bisogno di cospicue risorse energetiche, né di trainers, perché la sua mente sarebbe come quella di un bambino umano, anche se meccanica. Sarebbe in grado di distinguere i concetti e i sentimenti dalle cose materiali ed anche di trovare il nesso causale tra gli eventi, senza che nessuno glielo insegni, proprio come fanno gli esseri umani. In poche parole, sarebbe l'idea che si prefigurava nei film di fantascienza del XX secolo. Adesso vedremo come sia possibile ipotizzare una mente robotica di questo tipo.

IL PRINCIPIO DI DUALITA'

Riepiloghiamo brevemente quanto già detto nel paragrafo precedente in merito al Principio di Dualità. I concetti ("costituenti" nei termini di George Boole) sono sottoposti al Principio di Dualità. Allo stesso modo i raggruppamenti, infatti se "x^2=x" allora "(1-x)^2 = 1 + x^2 - 2x = 1 +x -2x = (1-x)" Al contrario la parte estranea/complessiva {1 - k} non lo è. Nella prossima immagine vediamo un altro modo per dimostrarlo.

E se k può assumere qualsiasi valore 0<=k<=1, lo stesso vale per (1-k).

Ricordiamoci che per George Boole non hanno senso i valori maggiori di uno, dal momento che l'unità corrisponde al Vero, cioè l'Insieme Universo.

STRUTTURA CONCENTRICA

La prima novità che veniamo ad aggiungere in questo paragrafo riguarda la struttura concentrica degli oggetti spaziali. Questi oggetti sono divisibili all'infinito e questo vuol dire possono essere immaginati in maniera sempre più dettagliata estrapolando nuovi concetti dalla parte estranea/complessiva. Nella prossima espressione il concetto x1 viene sostituito dai nuovi concetti x2 ed x3, di conseguenza la parte estranea/complessiva cambia il suo valore da {1 - k} ad {1 - j}.

(1 - x1){1 - k} * (1 - x2)(1 - x3){1 - j} = (1 - x2)(1 - x3){1 - j}

In altre parole A * B = B

Infatti, ammettendo che gli "xj" siano veri, cioè "1", sarebbe un caso particolare della moltiplicazione: "zero * zero = zero".  I prossimi diagrammi di Venn spiegano in maniera intuitiva questo processo.

ELEVAMENTO A POTENZA

Supponiamo, sulla base del criterio concentrico che abbiamo appena visto nel precedente trafiletto, di vedere due diversi stati dettagliati di uno stesso oggetto spaziale. Per esempio, se si tratta di un uomo, possiamo immaginare che più in dettaglio corrisponda ad un adulto, oppure ad un anziano. Se si tratta di un camion, possiamo immaginare che sia in movimento, oppure fermo al semaforo. Scriviamo quindi gli stati B e C di un oggetto A:

(1 - x1){1 - k} * (1 - x2)(1 - x3){1 - j} = (1 - x2)(1 - x3){1 - j}, cioè A * B = B

(1 - x1){1 - k} * (1 - x4)(1 - x5){1 - q} = (1 - x4)(1 - x5){1 - q}, cioè A * C = C

Ebbene, dal momento che i raggruppamenti rispettano il principio di dualità, mentre la parte estranea/complessiva non lo rispetta, è sicuramente possibile il seguente elevamento a potenza per consentire il passaggio dallo stato B allo stato C:

[(1 - x2)(1 - x3){1 - j}]^n = (1 - x2)^n * (1 - x3)^n * {1 - j}^n = (1 - x2) (1 - x3) {1 - j}^n = (1 - x4)(1 - x5){1 - q}.

Cioè, esiste sicuramente un esponente "n" per cui:

{1 - j}^n  = (1 - x4)(1 - x5){1 - q}/(1 - x2)(1 - x3)

In altre parole, il cambiamento di stato di un oggetto spaziale corrisponde semplicemente ad un elevamento a potenza. Il passaggio da uno "stato B" ad uno "stato C" corrisponde semplicemente a "(stato B)^n = (stato C)".

I concetti immateriali, incorporei, privi di parte estranea/complessiva, per esempio la fame, la sete, la bellezza, la felicità, ecc. possono essere pensati in maniera diversa da una mente, sulla base degli esempi e delle esperienze che questa ha vissuto. Però questi concetti immateriali non cambiano di stato, non si trasformano in un modo o in un altro. Sono "eterni", per utilizzare una terminologia platonica.

Al contrario la nostra mente è in grado di ruotare con la fantasia un oggetto spaziale, di vederlo crescere e rimpicciolirsi. Ma questa capacità della mente non dipende dalle esperienze che ha vissuto, bensì è innata. Perché dipende dall'algebra, cioè dalle proprietà dell'operazione di elevamento a potenza.

La moltiplicazione è un'operazione simmetrica: A * B = B * A

Lo stesso George Boole notava che è possibile dire "una bella ragazza" oppure "una ragazza bella", ma il risultato finale non cambia. Al contrario l'elevamento a potenza non è simmetrico: A ^ B <> B ^ A.

Da ciò deriva che il passaggio di stato ha una direzione temporale ben precisa.

In particolare:

- l'elevamento a potenza corrisponde al cambiamento di stato

- l'operazione inversa di radice corrisponde allo stato precedente di quello attuale

- l'operazione inversa di logaritmo corrisponde alla causa, cioè al motivo del cambiamento

Il tutto viene sintetizzato con la prossima immagine:

La nostra mente non è una "tabula rasa". E' già predisposta per immaginare e capire il nesso causale tra gli eventi. Invece di spiegare i fenomeni quotidiani con un metodo punitivo e costoso, "il bastone e la carota", sarebbe auspicabile che una macchina sia capace di pensare da sola, sulla base dei principi esposti in questo articolo. 

ESERCIZIO: ROTAZIONE LOGICA DI UN CUBO

Amici, intendiamoci.

Le applicazioni pratiche di questo articolo richiedono almeno due secoli. Anche dal punto di vista matematico, appaiono una serie di "0/0" e "0*0" che creano problemi. Non vedo come sia realizzabile attualmente, ma sono convinto che il segreto di un cervello "meganoide", che non sia una semplice tabula rasa, risieda nei principi dell'Estensione nello Spazio e dell'algebra booleana. Consoliamoci con un esercizio esilarante, assurdo: la "rotazione logica" di un cubo. L'esercizio viene scritto a mano, perché con il computer avrei impiegato troppo tempo.

NOTE:

NOTA1 del 08/08/2026

Nella Parte 1 di queste applicazioni abbiamo scritto quanto segue: "Un oggetto può essere al tempo stesso spaziale o non spaziale, secondo i punti di vista. Qualsiasi oggetto può essere astratto o concreto, a seconda del contesto in cui lo colloca il nostro pensiero. Una pietra è concreta, ma posso riferirmi ad una pietra in senso astratto" Questa caratteristica ci consente di risolvere algebricamente la struttura concentrica degli oggetti spaziali. Infatti l'algebra ordinaria richiede l'esistenza di un unico elemento neutro per la moltiplicazione. Consideriamo la seguente struttura concentrica: "uomo europeo = europeo; europeo italiano = italiano; italiano romano = romano" cioè: 

U * E = E; E * I = I; I * R = R

Questo procedimento non sarebbe possibile con l'algebra ordinaria, la quale richiede l'esistenza di un unico elemento neutro. Il problema si risolve considerando che qualsiasi oggetto spaziale può essere visto come un concetto, che rispetta il Principio di Dualità, per cui essendo "vero" equivale ad "1". Cioè: 

"(U=1) * E = E; (E=1) * I = I; (I=1) * R = R"

Nell'esempio in questione l'uomo, eventualmente europeo e italiano, viene pensato di volta in volta come concetto, oltre che come oggetto spaziale, al fine di mantenere l'elemento neutro "1" della moltiplicazione e consentire la struttura concentrica. Si noti che invece gli oggetti non-spaziali non hanno una struttura concentrica. Non hanno una parte estranea/complessiva dalla quale sia possibile estrapolare nuovi concetti, quindi potrebbero solo ricombinare in altro modo i concetti che hanno già a disposizione. Tra l'altro, senza parte/estranea complessiva, l'elevamento a potenza restituisce sempre il valore duale "1" oppure "0", quindi non è possibile alcun cambiamento di stato e nessuna variazione nel tempo.

NOTA2 del 10/08/26

Molti di voi potrebbero pensare che non è affatto vero che gli oggetti non-spaziali non cambiano nel tempo. Per esempio il rossore, la febbre, la sete, la forza, la velocità, sono tutti concetti che possono aumentare e diminuire. Ma se fate attenzione vi accorgete che cambia solamente lo stato dell'individuo al quale vengono attribuiti. Se dico "la velocità aumenta", in realtà sta cambiando lo stato dell'oggetto spaziale al quale è attribuita la velocità. Ma il concetto di velocità in sé non cambia. Se dico "il rossore diminuisce", in realtà sta cambiando lo stato di un oggetto arrossato, ma il concetto di rossore, in sé, non cambia.

NOTA3 del 28/08/26

A proposito della struttura concentrica, ci si potrebbe chiedere come viene stabilito qual è lo Stato Iniziale e qual è lo Stato Finale di un oggetto spaziale. La risposta si trova nel mondo empirico, ma non nella logica, né dentro di noi. E' il mondo a decidere che un uomo sarà prima un bambino e poi un adulto. E' il mondo a decidere che il camion è fermo al semaforo, e poi si mette in moto. E' il mondo a decidere il verso di rotazione di un cubo. Il nostro cervello non fa altro che elaborare informazioni provenienti dal mondo esterno, o all'occorrenza dalla nostra immaginazione, ed effettuare operazioni logiche su di esse per trarne conseguenze, precedenti e cause. Ma la struttura concentrica si rende comunque necessaria, perché consente di riconoscere il medesimo oggetto in tutte le sue fasi. Altrimenti lo stato iniziale e quello finale ci sembrerebbero due oggetti separati e non saremmo capaci di ricondurli al medesimo oggetto.

NOTA4 del 28/08/26

Nella prossima immagine vediamo una dimostrazione cartesiana del fatto che la parte estranea/complessiva {1 - K} può assumere qualsiasi valore compreso tra "0" ed "1". Nel caso più semplice abbiamo le due rette:

y = x

1- y = (1 - x){1 - K}, cioè, y = (1 - K)x + K;

(casi più complessi, con più variabili, richiederebbero figure multidimensionali difficili da intuire)

In base al Principio di Dualità, gli unici valori ammessi per x ed y sono P(0;0) e P(1;1). Ebbene, vediamo che man mano che la retta verde "y = (1 - K)x + K" ruota da "y = x" (quando {1 - K} = 1) a "y = 1" (quando {1 - K} = 0), allora abbiamo sempre P(1;1). Mentre P(0;0) viene ammesso solo inizialmente per {1 - K} = 1. Quindi, in definitiva, i valori ammessi sono: "x = 0, y = 0, {1 - K} = 1" oppure "x = 1, y = 1, 0<={1 - K}<=1". Si noti che, in accordo con quanto abbiamo scritto nella Parte 1 di queste Applicazioni, l'intera Teoria dell'Estensione nello Spazio risulta falsa se "x = 0, y = 0, {1 - K} <> 1".

Applicazioni dell' Estensione nello Spazio - Parte 4

Riprendiamo l'argomento lasciato in sospeso nella Parte 3, cioè l'applicazione dell'Estensione nello Spazio all'algebra booleana. Di seguito vengono nuovamente riportate le figure precedenti, contenenti le "formule magiche". Bè, chi ha letto le prime due parti avrà già capito che si tratta semplicemente della trascrizione dei teoremi di De Morgan, per cui se "p = p1 or p2" allora "not p = not p1 and not p2", dove "not p" si riscrive "1 - p", con l'unica aggiunta della parte estranea/complessiva per gli oggetti spaziali, che viene riscritta come {1 - k}. Un aspetto curioso della faccenda è il fatto che nel libro di George Boole, "Indagine sulle leggi del pensiero", non c'è alcun riferimento alle leggi di De Morgan, nonostante i due si frequentassero e fossero amici.

Soffermiamoci su alcuni dettagli presenti nelle due figure.

LA SOMMA

In alto appare la somma "p = p1 + ... + pn".

Ipoteticamente si potrebbe pensare che "p" sia un insieme, in quanto somma di n elementi. Non è così. "p" è solamente l'elemento generico, mentre i "pj" sono elementi specifici. Ricordiamoci infatti che "+" corrisponde ad OR. Invece l'insieme di elementi è dato dalla riga sottostante, cioè il prodotto: 

"C = (1 - p) = (1 - p1) … (1 -pn)"

Un altro dubbio è che questo elemento generico "p" possa contraddire il principio di dualità, in quanto assumerebbe un valore maggiore di "1". Infatti nell'ipotesi in cui gli elementi "pj" siano veri, potremmo ottenere: "5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1". Il problema si risolve leggendo il capitolo di George Boole dedicato alle "Abbreviazioni". George Boole ci fa notare che qualsiasi valore maggiore di uno equivale ad uno, per cui "5 = 1 = True". D'altronde se dico "un gatto oppure un gatto oppure un gatto" sempre di un gatto si tratta, non di tre gatti. Un altro esempio interessante di "Abbreviazione" riportato da George Boole è questo: "x + xy = x" D'altronde se dico "un gatto oppure un gatto bianco", sempre di gatto si tratta.

MONOMIO NULLO

Qui entriamo nel vivo dell'estensione nello spazio. In una situazione ideale gli elementi devono escludersi l'un l'altro. Pertanto moltiplicati fra loro devono annullarsi. Immaginiamo i punti del cerchio. Ogni punto esclude l'altro. Sono separati e non possono coincidere. Analogamente le molecole d'acqua: è una molecola, oppure un'altra. Da ciò ne deriva che il polinomio ha solo variabili di primo grado:

"C = (1 - p) = (1 - p1) (1 - p2) … (1 -pn) = 1 - p1 - p2 - ... - pn"

Dal prodotto si ritorna alla somma di cui sopra.

La prossima immagine aiuta a capire, tramite i diagrammi di Venn, l'ipotesi di esclusione reciproca degli elementi.

I RAGGRUPPAMENTI

Un presupposto interessante della Teoria dell'Estensione nello Spazio è che l'operatore unario di negazione NOT può essere reinterpretato come un insieme, cioè come un raggruppamento di oggetti. Quindi se "p" è un punto, allora "1 - p" è l'insieme dei punti. Può sembrare strano il fatto che "1 - x" sia l'insieme degli elementi "x", ma in realtà è così. Per esempio se "x = y" allora l'insieme degli x è uguale all'insieme degli y, cioè "1 - x = 1 - y". Altro esempio: se un essere umano è uomo o donna, allora l'insieme di tutti gli esseri umani è dato dall'insieme degli uomini e delle donne. Cioè se "e = u + d", allora "(1 - e) = (1 - u) (1 - d)", ammettendo che "ud = 0", dato che uomini e donne si escludono tra loro.

In particolare risulta quanto segue:

"0 = 1 - 1" corrisponde al raggruppamento di tutto ciò che è vero 

(Insieme Universo)

"1 = 1 - 0" corrisponde al raggruppamento del falso 

(Insieme Vuoto)

Qualsiasi funzione F(x) del concetto x può essere negata e reinterpretata come funzione G(1-x) del raggruppamento "1 - x". Concetti e raggruppamenti sono diverse facce di una stessa medaglia e sono entrambi sottoposti al principio di dualità, cioè possono essere "0" oppure "1". Sarebbe interessante sapere se alcuni problemi non computabili di Teoria degli Insiemi possono essere raggirati pensando gli insiemi in questo modo più semplice.

LA PARTE ESTRANEA/COMPLESSIVA {1 - K}

La presenza della parte estranea/complessiva è ciò che distingue un oggetto spaziale da un oggetto non-spaziale. Coerentemente con quanto abbiamo detto, ciò che precedentemente veniva scritto "{I(K)}" viene qui riscritto come {1 - K}. Una cosa fondamentale da notare è che la parte estranea/complessiva non rispetta il Principio di Dualità, ma può assumere qualsiasi valore "0 <= {1 - k} <= 1". Infatti quando gli elementi "pj" sono veri, cioè "1", allora "0 = (1 - p) = (1 - p1) ... (1 - pn) {1 - k}" per qualsiasi valore "0 <= k <= 1". Questo vuol dire che la parte estranea/complessiva non è un concetto, nè un raggruppamento. Non deve sorprenderci. Lo stesso George Boole aveva previsto l'esistenza di parametri, che non rispettano il Principio di Dualità. Per esempio la proposizione particolare "alcuni X sono Y" corrisponde a "vX = wY", dove "v" e "w" sono frazioni dell'unità, quote parti, che possono assumere qualsiasi valore compreso tra zero ed uno.

NOTE:

NOTA1 del 08/08/2026:

Un esempio interessante di reinterpretazione dei concetti in termini di raggruppamenti è dato proprio dal Principio di Dualità "x(1-x) = 0" Apponendo il prefisso "1-" il Principio di Dualità può essere riscritto come di seguito: 

"(1-(1-x))(1-x) = 1 - 1" 

Il che vuol dire: "il raggruppamento di tutto ciò che non è x, e di tutto ciò che è x, ci restituisce l'Insieme Universo"

NOTA2 del 08/08/2026:

se "x = y" allora l'insieme degli x è uguale all'insieme degli y. Alcuni di voi potrebbero trovare sbagliata l'affermazione precedente. Infatti, anche se "x = y", cionondimeno l'insieme degli x potrebbe contenere 2 elementi, mentre l'insieme degli y potrebbe contenerne 5, per cui i due insiemi risulterebbero complessivamente diversi tra loro, anche se i loro elementi sono uguali.

Supponiamo che x possa essere in 2 modi diversi, mentre y in 5 modi. In tal caso avremmo quanto segue, assumendo che gli elementi siano distinti e che quindi moltiplicati tra loro si annullino.

(x1 + x2) = (y1 + y2 + y3 + y4 + y5)

(1 - x1) (1 - x2) = (1 -y1) (1- y2) (1- y3) (1- y4) (1- y5)

Ma allora, perchè i due insiemi ci sembravano diversi ? In realtà ci sembravano diversi solamente perchè la figura precedente non era un diagramma di Venn, bensì una rappresentazione spaziale contenente punti distanziati tra loro. Il tutto apparirà più chiaro con la prossima immagine corretta.

Quindi quei cerchi sono due oggetti spaziali che andrebbero riscritti come di seguito:

(1 - x1) (1 - x2) {1 - K} <> (1 -y1) (1- y2) (1- y3) (1- y4) (1- y5) {1 - J}

con le parti estranee/complessive che descrivono le distanze tra i punti. Un insieme che contiene "fisicamente" un certo numero di elementi separati è un oggetto spaziale, non un semplice raggruppamento, né un diagramma di Venn.  Occorre non fare confusione e andare oltre le apparenze.

Applicazioni dell' Estensione nello Spazio - Parte 3

Amici, in questa Parte 3 vedremo come la teoria dell'Estensione nello Spazio costituisca un'integrazione dell'algebra booleana, consentendo di approfondire la teoria delle Proposizioni Primarie e di conseguenza quella delle Proposizioni Secondarie, fondamentale per la moderna Scienza dell'Informazione. Vi ricordo che la sezione scientifica del blog non è didattica, né "educational", ma che propone "articoli scientifici originali", cioè inventati dall'autore, che qui vengono pubblicati per la prima volta. Questo vuol dire che io darò per scontato che voi sappiate già chi sia George Boole e che abbiate già letto i suoi libri, altrimenti la lunghezza dell'articolo sarebbe inverosimile.

Sicuramente non sarà così. 

Sicuramente voi altri non sapete di cosa stiamo parlando, né sapete cosa sia la Teoria dell'Estensione nello Spazio, nonostante se ne parli ovunque nel blog: male, male !

Allora diciamo pure che il britannico George Boole è stato uno dei più grandi ingegni di tutti i tempi, nonchè un uomo sensibile, benefattore e filantropo. Il suo libro "Indagine sulle leggi del pensiero" è importante  quanto la "Critica della Ragion Pura" del tedesco Immanuel Kant, scritta circa 60 anni prima, e per certi aspetti ne costituisce un'importante appendice. Nella prossima immagine potete vedere l'edizione italiana del libro di George Boole, e subito sotto il suo ritratto insieme con Immanuel Kant, da me realizzato in uno scorcio del tutto anacronistico.

Tralasciamo i dettagli storici e anagrafici, che pure sono importantissimi, per venire subito al dunque. George Boole è stato il primo ad intuire che il cervello umano funziona come una calcolatrice, e che  le operazioni che svolge nel tentativo di comprendere il mondo sono simili ad operazioni aritmetiche. Quand'anche non fosse stato lui il primo ad avere avuto questa intuizione, lo è stato comunque nel capirne l'importanza, nell'avere il coraggio di scriverci un libro, e nell'approfondire seriamente la questione. In particolare risulta quanto segue:

- l'associazione di concetti, cioè l'attribuzione di un aggettivo ad un sostantivo, corrisponde ad una moltiplicazione

- la congiunzione, intesa come il latino "vel","aut...aut...", corrisponde ad una somma

Per esempio, se dico "un attore donna", allora corrisponde al monomio "ad", dove "a" e "d" sono fattori. Se invece dico "un attore e una donna", allora corrisponde al binomio "a + d", dove "a" e "d" sono addendi. George Boole si rese anche conto che se ripetiamo "donna donna donna..." tante volte di seguito, il concetto non cambia, perchè sempre di una donna si tratta, anche se viene ripetuto. In altre parole, la ripetizione di un concetto non influisce sul modo di pensarlo. Questo, aritmeticamente, vuol dire che "x = x^n", in particolare "x = x^2", da cui "x - xx = 0", cioè "x(1-x)=0". La soluzione di quest'ultima equazione di secondo grado ammette solo due valori, "0" e "1", per cui i concetti, diversamente dai numeri, sono sottoposti al Principio di Dualità: qualsiasi cosa potrà essere Vera, cioè uno, oppure Falsa, cioè nulla, zero.

"(1-x)" è l'opposto del concetto "x", perchè corrisponde al "Vero tranne x". Infatti se ad "x" attribuisci "(1-x)" ottieni zero, come abbiamo visto sopra, proprio perchè il Principio del Terzo Escluso ci dice che una cosa non può essere contemporaneamente sè stessa e il suo opposto.

Bene. Adesso che abbiamo riepilogato i concetti fondamentali di George Boole, vedremo come la teoria dell'Estensione nello Spazio consente di superarne i limiti.

Infatti George Boole non sapeva distinguere gli oggetti spaziali da quelli non-spaziali. Per lui un concetto astratto ed una cosa materiale, non erano aritmeticamente distinguibili. Se dico "bella donna" c'è una differenza enorme, perchè la bellezza è un concetto immateriale, etereo, senza altezza, larghezza o spessore, mentre la donna è materiale, corporea, ed ha altezza, larghezza e spessore. Per George Boole "bella donna" sarebbe solamente un monomio "bd", con due fattori qualsiasi "b" e "d". Ma lasciamo che sia lui stesso a spiegarci le sue difficoltà,  e ad esporre il suo maldestro tentativo di raggirarle,  riportando le parole tratte dal suo stesso libro:

"Sostantivi e aggettivi si possono considerare differenti solo in questo: che i primi esprimono l'esistenza indipendente della cosa, mentre i secondi la implicano. Se all'aggettivo aggiungiamo il soggetto "cosa" diventa virtualmente un sostantivo. L'acqua è fluida e l'acqua è una cosa fluida sono equivalenti"

Non è così per la Teoria dell'Estensione nello Spazio. L'acqua è un oggetto spaziale, mentre la fluidità no. E non si rende necessario assumere che lo sia implicitamente.

Sicuramente l'argomento che stiamo trattando richiederebbe la stesura di un intero libro. Quindi, senza dilungarmi, riporterò subito il "risultato finale" e chiuderò il topic. Dopodiché in un topic successivo verranno riportate le dovute spiegazioni. Osservate le prossime immagini ! Studiatele ! Meditate ! E arrivederci al prossimo topic.

Applicazioni dell' Estensione nello Spazio - Parte 2

Amici, nella Parte 1 abbiamo saggiato l'efficacia della formula dell'Estensione nello Spazio, cioè quella casistica particolare della legge matematica più generale di Augustus de Morgan, la quale determina lo spartiacque tra il mondo materiale e il mondo immateriale, perchè consente di distinguere oggetti spaziali, come figure geometriche e corpi materiali da oggetti non-spaziali, come insiemi astratti, colori, concetti e via dicendo.

Nel link precedente:

https://sciencefictionleo.blogspot.com/2025/09/applicazioni-dell-estensione-nello.html 

abbiamo visto come la formula consente di dimostrare la non-spazialità degli insiemi numerici a fronte della spazialità delle coniche e dei punti nello spazio cartesiano, inoltre abbiamo dimostrato alcuni teoremi.

Nel blog potete trovare altri link sull'argomento, che sicuramente avrete già letto, per esempio questo:

https://sciencefictionleo.blogspot.com/2023/04/la-logica-dello-spazio.html

Che dire ? D'altronde lo Spazio è una cosa così importante, che non si poteva credere ad una sua natura meramente percettiva, altrimenti sarebbe stato solamente un'illusione dei sensi. Invece lo spazio corrisponde ad una struttura logico-matematica ben precisa e la nostra interpretazione entra solo in un secondo tempo.

In questo topic parleremo di un'altra applicazione dell'Estensione nello Spazio, cioè l'ipotesi del Continuo di Georg Cantor, il quale affermava che se "N0" è la cardinalità dell'insieme dei numeri interi, allora "2^N0 = N1" è la cardinalità dell'insieme dei numeri reali, cioè dei punti sulla retta. Per cui "2^N0" costituirebbe il passaggio dal "discreto" al "continuo".

Si è dibattuto molto sulla liceità della dimostrazione di Cantor e sulla possibile esistenza di una cardinalità intermedia tra le due. Ancora oggi, nel 2026, sembra tutto davvero molto complicato. Ma adesso vedremo che la formula dell'Estensione nello Spazio rende tutto più semplice...ed incredibilmente dà ragione a Georg Cantor, per quanto le sue idee potessero sembrare stravaganti.

Per dimostrare la formula di Georg Cantor in termini di Estensione nello Spazio procederemo in modo molto semplice, così che possa capire chiunque. Divideremo quindi questo topic in quattro sezioni: L'esempio della libreria, L'esempio dell'insieme, L'Estensione nello Spazio, Conclusioni.

L'esempio della libreria

Immaginiamo uno scaffale contenente tre libri, come nella prossima figura.

Non è necessario ipotizzare che i libri siano infiniti. E' sufficiente supporre che siano solamente tre.

Ora, dato quell'insieme di tre libri, quanti sotto-insiemi possiamo immaginare ? La risposta è: l'insieme potenza, cioè P(3), che corrisponde a "2^3" sottoinsiemi di libri. Sono 8 sottoinsiemi e li disegniamo di seguito. Una cosa però: togliamo l' "insieme vuoto" ! Perchè l'insieme vuoto NON è un insieme di libri, giacchè non ne contiene nessuno. Quindi abbiamo che i "sottoinsiemi di libri" sono esattamente 7, cioè "2^3 - 1".

Ora la domanda è questa:

come facciamo ad aggiungere altri "sotto-insiemi di libri" ? 

E' forse impossibile ?

Ricordiamoci che in totale i libri sono tre !!!

No! 

Un modo c'è !

Proviamo a mettere un libro sopra l'altro.

In questo modo, utilizzando lo spazio, possiamo creare altri sottoinsiemi di libri, mettendoli uno sopra l'altro, come nella figura seguente:

Vediamo quindi, che per passare da "2^3 - 1" a "2^3" sottoinsiemi diversi di libri dobbiamo RICORRERE ALLO SPAZIO. Cioè, lo spazio ci consente di superare "2^N - 1" per arrivare direttamente a "2^N" ed oltre ! Forse qualcuno di voi ha già capito. Passiamo al prossimo esempio.

L'esempio dell'insieme

Scriviamo un insieme astratto di 3 elementi.

Anche in questo caso, non è necessario ipotizzarne infiniti. 

I = {x1,x2,x3}

Come nel caso della libreria, anche qui possiamo generare P(3) sottoinsiemi. Di nuovo, togliamo l' "insieme vuoto", perchè l'insieme vuoto NON è un insieme di elementi, giacchè non ne contiene nessuno. Quindi abbiamo complessivamente "2^3 - 1" sottoinsiemi.

Poniamoci nuovamente la domanda:

come facciamo ad aggiungere altri "sotto-insiemi di elementi" ? 

E' forse impossibile ? No! Un modo c'è !

Passiamo alle ennuple, cioè gli insiemi ordinati di elementi.

Per esempio aggiungiamo il seguente sottoinsieme:

{{x1}{x1,x2}}

Vediamo quindi che le ennuple ci consentono di superare "2^N - 1" per arrivare direttamente a "2^N" ed oltre ! Ma le ennuple sono oggetti spaziali ! Perchè sono ordinate ! Infatti con la formula dell'Estensione nello Spazio una ennupla può essere scritta come di seguito:

e = x1 or x2

I(e) = I(x1) and I(x2) and {I(K)}

Dove {I(K)} vuol dire: "metti prima x1 e poi x2"

Vediamo quindi che, come nel caso precedente della libreria, anche per un insieme generico di N elementi, il passaggio da "2^N - 1" a "2^N" richiede LA PRESENZA DELLO SPAZIO!

L'Estensione nello Spazio

Eccoci quindi arrivati alla terza sezione del topic. A questo punto scriviamo direttamente la formula dell'Estensione nello Spazio:

x = x1 or ... or xn

I(x) = I(x1) and ... and I(xn) and {I(K)}

Dove {I(K)} è la parte estranea/complessiva.

Anche in questo caso, se gli elementi x sono N, possiamo generare "2^N - 1" sottoinsiemi di elementi x. Se volessimo passare a "2^N" sottoinsiemi, cioè aumentare anche di una sola unità, allora dovremmo aggiungere necessariamente la parte estranea/complessiva {I(K)}, che è proprio quella che distingue un oggetto spaziale da un oggetto non-spaziale !!!

Conclusioni

Georg Cantor ci aveva azzeccato !!!

Se abbiamo N elementi, allora 2^N richiede necessariamente la presenza dello spazio. Il passaggio da N a 2^N comporta necessariamente il passaggio da un insieme astratto ("discreto" nei termini di Georg Cantor) ad un insieme geometrico ("continuo" in quei termini). Georg Cantor lo ha dimostrato nel caso in cui N è infinito, complicandosi davvero la vita. Ma l'Estensione nello Spazio mette in evidenza che la regola è valida per qualsiasi valore finito di N.

Sicuramente l'argomento è complesso, interessante, e meriterebbe ulteriori approfondimenti matematici, filosofici e scientifici, che forse non è qui il luogo adatto. In particolare, la terminologia "discreto/continuo" non è proprio identica a "non-spaziale/spaziale" da noi utilizzata, vero ?

In un prossimo topic vedremo come la formula dell'Estensione nello Spazio può aprire nuove frontiere: nell'ambito dei circuiti elettronici, della teoria dei quanti e dell'intelligenza artificiale !

NOTE

NOTA 1 del 28/05/26:

oltre ai due link citati all'inizio del topic, ci sono anche questi altri due che riassumono la teoria dell'Estensione nello Spazio:

https://sciencefictionleo.blogspot.com/2022/01/l-estensione-nello-spazio.html

https://sciencefictionleo.blogspot.com/2022/05/il-segreto-dellestensione-nello-spazio.html

In particolare il secondo è interessante perchè accenna allo sviluppo dei diagrammi di Venn, che meriterebbe una trattazione a parte più approfondita che scriverò in seguito.

NOTA 2 del 28/05/26:

nel corso degli anni il modo di esporre l'Estensione nello Spazio è un pò cambiato, ma i concetti sono rimasti gli stessi. Per esempio, potete notare che nei primi post la funzione "raggruppamento di X" veniva espressa come "N(X)", mentre in seguito è stata riscritta come "I(X)". Anche la parte estranea/complessiva è stata scritta di volta in volta come "X", "{N(K)}", "{I(K)}". Queste diverse nomenclature non devono ingannarvi, nè generare confusione, perchè sono equivalenti. Semplicemente nel corso del tempo l'esposizione degli stessi concetti è stata aggiornata, per cui:

"N(X) = I(X)".

"X = {N(K)} = {I(K)}".

Inizialmente, "N(X)", voleva esprimere il fatto che la funzione raggruppamento era una diversa interpretazione dell'operatore "NOT" di Augustus de Morgan, inoltre "N" significava anche "Number", cioè pluralità. Poi però si è scelto "I(X)" per evidenziare che i raggruppamenti sono insiemi "I" e che vanno interpretati in tal senso.

NOTA 3 del 28/05/26:

il fatto che le ennuple siano oggetti spaziali, al contrario degli insiemi che risultano incorporei, è una diretta conseguenza della formula dell'Estensione nello Spazio. Come già scritto, le ennuple presumono un ordinamento, e quindi un orientamento, come le stringhe: dall'alto verso il basso, da sinistra verso destra, oppure sulla base di un diverso criterio spaziale che noi umani non potremmo neanche immaginare. In particolare, vorrei soffermarmi sul problema della cardinalità di un'ennupla di N elementi, che è diversa da quella di un insieme. Il problema della cardinalità delle ennuple non è mai stato affrontato prima. Forse è la prima volta su questo topic. Diciamo subito che se la cardinalità di un insieme di N elementi è "N", così non è per una ennupla. Infatti l'ordinamento di un'ennupla è arbitrario. Ciascuno dei suoi N elementi è candidato per essere il primo. Per esempio l'enumerazione potrebbe partire da destra verso sinistra, o dal centro, invece che da sinistra verso destra. Quindi il primo elemento "x1" di un'ennupla potrebbe essere uno qualsiasi dei suoi N elementi. Da ciò ne deriva che il secondo elemento "x2" di un'ennupla potrebbe essere ancora uno qualsiasi dei suoi elementi, purchè non il precedente, che è stato già scelto, quindi gli rimangono (N - 1) possibilità. Analogamente, quando scegliamo il terzo elemento dell'ennupla, ci rimangono ancora (N- 2) possibilità, e così via, fino ad esaurimento. Da tutta questa argomentazione ne consegue che il Cardinale di un'Ennupla è il Fattoriale di N, cioè N!, mentre il cardinale di un'insieme è solamente N, perchè dipende esclusivamente dalla numerosità dei suoi elementi, che non sono ordinabili. Il Fattoriale di N, cioè "N!", è superiore a "2^N - 1", per cui sicuramente le ennuple sono estese nello spazio. Una possibile obiezione a questa argomentazione, è il fatto che una ennupla è ordinata in un unico modo, per cui il suo cardinale sarebbe "1". Ma questa obiezione non è consistente, perchè allora anche il cardinale di un insieme sarebbe "1", dal momento che l'insieme è un oggetto unico. Quindi sicuramente il cardinale di un'ennupla è il fattoriale di N. 

Applicazioni dell' Estensione nello Spazio - Parte 1

Amici e appassionati di Science Fiction Leo,
in questo post vorrei riepilogare alcuni risultati che mettono in luce le possibilità della formula dell'Estensione nello Spazio, in grado di distinguere gli oggetti spaziali da quelli che non lo sono. Vedremo in breve come questa formula che ho scoperto consenta la dimostrazione di enunciati matematici prima d'ora postulati come assunti indimostrabili. Molti di voi sapranno già di che si tratta, perchè ne avranno già letto sul blog, però ogni tanto è utile rinfrescare la memoria. Allora, iniziamo con l'enunciare la formula, che consiste in un insieme di due proposizioni logiche, e nel definire i termini in cui risulta vera.

1) La formula.
La formula è questa:
x = x1 or x2 or ... or xn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and {I(k)}
Nello specifico, l'oggetto spaziale è I(x).
Si tratta di un caso particolare della legge di Augustus de Morgan, che riscriviamo qui sotto:
x = x1 or x2 or ... or xn
NOT x = NOT x1 and NOT x2 and ... and NOT xn
La prima differenza consiste nella diversa interpretazione dell'operatore unario, che in Augustus de Morgan vuol dire negazione NOT, mentre nell'estensione nello spazio vuol dire raggruppamento, insieme I. La seconda differenza consiste nell'aggiunta di un termine in AND nella seconda proposizione, che non trova corrispondenza tra quelli disgiunti. Questo termine poteva essere scritto come I(xn+1), ma invece abbiamo inserito le parentesi graffe e messo "k" per evidenziarlo ulteriormente, scrivendolo come {I(k)}, la parte "estranea/complessiva".

2) I termini in cui la formula è vera.
La formula è sempre vera. Risulta falsa solamente quando sono falsi tutti gli elementi "xj" e la parte estranea/complessiva {I(k)}. Forse si tratta di una casistica poco significativa, dal momento che sarebbero falsi tutti gli elementi presi in esame, ma non sarebbe male ragionarci sopra, perchè comunque vuol dire che la formula non è una tautologia. Di seguito l'analisi effettuata con le tavole di verità di Ludwig Wittengstein e poi con il metodo inferenziale di Gerhard Gentzen.
Tavola di verità:

per la tavola di verità ci siamo limitati a due soli elementi x1 ed x2, altrimenti la trattazione sarebbe stata troppo ingombrante, ma è facile dedurre che il risultato non cambia aggiungendo quanti si voglia elementi.
Metodo inferenziale:

per il metodo inferenziale ho semplificato ulteriormente la formula togliendo due bi-implicazioni e trattando la terza bi-implicazione prima in un verso, poi nell'altro. Si noti che la prossima implicazione non è una tautologia, perchè bisogna premettere x1, oppure x2, oppure {I(k)}

La prossima implicazione invece è una tautologia e non richiede premesse.

3) Dimostrazioni.
Passiamo adesso all'argomento più interessante di questo topic, cioè le dimostrazioni che per la prima volta risultano possibili.

a) Un insieme I(n) di numeri pari {2, 4, 6} non è un oggetto spaziale.
Scriviamolo come di seguito:
n = 2 or 4 or 6
I(n) = (I(2) and I(4) and I(6)) --> I(k) 
dove I(k) vuol dire "i numeri sono pari".
Come potete notare, la struttura logica non è quella di un oggetto spaziale. Infatti l'elemento I(k) non viene aggiunto tramite congiunzione AND, ma tramite implicazione -->, pertanto è complessivo, ma non estraneo. Questo perchè osservando l'insieme (I(2) and I(4) and I(6)) si deduce già da esso, analizzandolo, che è un insieme di numeri pari, senza metterlo in congiunzione con una parte estranea.

b) Un oggetto spaziale I(x) è divisibile all'infinito.
Da sempre i matematici dividono le figure geometriche all'infinito per consentire le loro dimostrazioni. Pensiamo al metodo di esaustione di Archimede e poi, secoli dopo, ai metodi di integrazione e derivazione nella geometria analitica. L'infinito è sempre stato un grattacapo per i matematici, perchè alcuni di loro hanno cercato di evitarlo nei loro argomenti, pur utilizzandolo implicitamente. D'altronde ognuno di noi, senza essere matematico, può immaginare un cerchio o una sfera ed iniziare a dividerla in infinite parti con la fantasia. Questo perchè l'infinito è inscindibile dalla percezione spaziale. Ora, per la prima volta, dimostreremo che gli oggetti spaziali sono divisibili all'infinito. Supponiamo che I(x) sia un oggetto spaziale e scriviamone la consueta formula:
x = x1 or x2 or ... or xn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and {I(k)}
Supponiamo invece che la parte estranea/complessiva I(k) non sia un oggetto spaziale. In tal caso dovremmo scriverla a sua volta senza parte estranea/complessiva, cioè:
k = k1 or k2 or ... or kn
I(k) = I(k1) and I(k2) and ... and I(kn)
Ma allora I(x) dovrebbe essere riscritto come di seguito:
x = x1 or x2 or ... or xn or k1 or k2 or ... or kn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and I(k1) and I(k2) and ... and I(kn)
Quindi anche I(x) sarebbe senza parte estranea/complessiva, contro l'ipotesi iniziale, perchè tutti gli elementi in congiunzione corrisponderebbero a quelli in disgiunzione. E' necessario quindi, che se I(x) è un oggetto spaziale, lo sia anche la sua parte estranea/complessiva {I(k)}, la quale, essendo spaziale a sua volta, conterrà un'altra parte estranea/complessiva, e così via, per cui un oggetto spaziale è divisibile all'infinito in altri oggetti spaziali.

c) Le coniche sono oggetti spaziali.
Certo che lo sono, i greci le studiavano espressamente, ma è possibile dimostrarlo ? Di sicuro. Una conica I(p) può essere scritta come di seguito:
p = p1 or p2 or ... or pn
I(p) = I(p1) and I(p2) and ... and I(pn) and {I(k)}
Dove pj sono i suoi punti generici ed {I(k)} è la parte estranea/complessiva che, a seconda dei casi, vorrà dire "equidistanza dei punti pj dal centro", oppure "equivalenza della somma delle distanze dei punti pj dai fuochi", oppure "equidistanza dei punti pj dal fuoco e da una retta", eccetera, a seconda che si tratti di cerchi, ellissi, parabole o qualsiasi altra figura. In altre parole {I(k)} è il luogo dei punti. Si noti che il luogo dei punti va aggiunto necessariamente in AND, perchè non può essere implicato in alcun modo leggendo l'espressione "I(p1) and I(p2) and ... and I(pn)". Da cui ne risulta che la struttura delle coniche è quella di tutti gli oggetti spaziali.

Facciamo ora un salto di secoli, passando dalle coniche degli antichi greci al metodo moderno della geometria analitica. Ebbene, nella prossima dimostrazione, vedremo che la formula dell'estensione nello spazio continua a centrare il bersaglio.

d) I punti del piano cartesiano sono oggetti spaziali.
Un punto P(x,y) del piano cartesiano può essere riscritto come l'oggetto I(r) che segue:
r = x or y
I(r) = I(x) and I(y) and {I(k)}
Dove x ed y sono due numeri reali, r è il numero reale generico ed {I(k)} vuol dire "i due numeri sono coordinate". Si noti che il fatto che i due numeri sono coordinate va necessariamente aggiunto in AND, perchè non può essere implicato in alcun modo osservando due numeri x ed y. Pertanto la struttura del punto I(r) nel piano cartesiano è quella di un oggetto spaziale. 

e) Un insieme I(n) di numeri primi tra loro {3, 5, 11} non è un oggetto spaziale. 

Scriviamolo come di seguito:
n = 3 or 5 or 11
I(n) = (I(3) and I(5) and I(11)) --> I(k) 
dove I(k) vuol dire "i numeri sono primi tra loro".
Come potete notare, la struttura logica non è quella di un oggetto spaziale. Infatti l'elemento I(k) non viene aggiunto tramite congiunzione AND, ma tramite implicazione -->, pertanto è complessivo, ma non estraneo. Questo perchè osservando l'insieme (I(3) and I(5) and I(11)) si deduce già da esso, analizzandolo, che è un insieme di numeri primi tra loro, senza metterlo in congiunzione con una parte estranea.

f) Dimostrazione della formula dell'Estensione nello Spazio.
Questo passo si propone di dimostrare la formula stessa dell'Estensione nello Spazio, cioè il fatto che un oggetto spaziale I(x) può essere scritto come:
x = x1 or x2 or ... or xn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and {I(k)}
Si tratta pertanto di un meta-teorema. A tal fine, definiamo prima lo spazio come ciò che deve essere capito necessariamente tramite percezione, e non solo tramite l'analisi di una formula. Quindi se l'insieme I(x) corrisponde ad un oggetto spaziale, sarà necessario scriverlo come segue:
x = x1 or x2 or ... or xn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and {percezione}
Dove la percezione eccede gli elementi dell'insieme che corrispondono a quelli disgiunti. Supponiamo che la percezione sia a sua volta un oggetto I(y). In tal caso potremmo riscrivere l'oggetto spaziale I(x) come di seguito:
x = x1 or x2 or ... or xn or y1 or y2 or ... or yn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and I(y1) and I(y2) and ... and I(yn)
dove gli elementi x ed y possono corrispondere a qualsiasi formula di qualsivoglia complessità. A questo punto però l'oggetto spaziale I(x) sarebbe comprensibile leggendone la formula, per quanto complessa essa sia, senza alcuna percezione, contrariamente all'ipotesi iniziale. E' necessario quindi aggiungere nuovamente l'elemento {percezione}, di conseguenza l'oggetto spaziale dovrà sempre contenere un elemento che eccede rispetto a quelli disgiunti, e questo elemento sarà chiamato "parte estranea/complessiva {I(k)}".

La teoria dell'Estensione nello Spazio non è tutta rose e fiori.
Alcuni esempi sono controversi e problematici.
Di seguito ne elenchiamo alcuni.

1) Risulta che un insieme ordinato, sia di lettere che di numeri, è un oggetto spaziale. Vedi l'espressione seguente:
n = 1 or 2 or 3
I(n) = I(1) and I(2) and I(3) and {I(k)}
dove {I(k)} vuol dire "ordine crescente/decrescente dei numeri". Se volessimo imporre l'ordine crescente/decrescente dovremmo necessariamente inserirlo in AND, perchè l'insieme generico (I(1) and I(2) and I(3)) non implica che i numeri siano in ordine crescente/decrescente. Siamo d'accordo sulla spazialità, se pensiamo che i numeri in ordine crescente/decrescente possono essere disposti su linee, termometri, e che quindi significano un criterio di basso verso l'alto, oppure sinistra verso destra. Però, questo vuol dire che qualsiasi insieme ordinato, anche i tre numeri interi presi in esempio, è un oggetto infinito. Ne riparleremo quando affronteremo specificamente l'Ipotesi dei Continuo.

2) Risulta che un oggetto può essere al tempo stesso spaziale o non spaziale, secondo i punti di vista. Riprendiamo l'esempio del punto P(x,y) sul piano cartesiano e riscriviamolo come di seguito:
coordinata = coordinata "x" or coordinata "y"
Punto = I(coordinata) = I(coordinata "x") and I(coordinata "y")
Se pensiamo al punto come insieme di coordinate, invece che di numeri reali, non c'è più bisogno di aggiungere una parte estranea/complessiva. Siamo d'accordo, se consideriamo la percezione spaziale come mentalismo. Qualsiasi oggetto può essere astratto o concreto, a seconda del contesto in cui lo colloca il nostro pensiero. Una pietra è concreta, ma posso riferirmi alla pietra in senso astratto. Il "bene" sembra astratto, ma posso trasporlo in figure concrete. Similmente lo spazio può essere dematerializzato dal pensiero.

3) Risulta che i simboli sono oggetti spaziali:
simbolo = x or y
I(simbolo) = I(x) and I(y) and {I(k)}
dove {I(k)} può vuol dire "x e y sono numeri pari".
Osservando due simboli qualsiasi x ed y non ci sarebbe alcun modo per dedurre che si riferiscono a numeri pari, o a qualsiasi altra cosa, a meno che noi lo aggiungessimo in AND come parte estranea/complessiva. Anche su questo siamo d'accordo, se pensiamo che i simboli, di per sè, spogliati del loro significato, sono figure. Quindi il nostro cervello aggiunge un significato ad una combinazione di figure spaziali. Il problema viene raggirato pensando già x ed y come numeri pari, invece che simboli:
p = x or y
I(p) = I(x) and I(y)
In quest'ultimo caso p è il numero pari generico e I(p) è l'insieme di due numeri pari, che non è più un oggetto spaziale e non ha più la parte estranea/complessiva.

In questo topic abbiamo riassunto alcune potenzialità teoriche della formula dell'estensione nello spazio. In un prossimo topic ne ipotizzeremo le applicazioni pratiche. Le prime che mi vengono in mente riguardano l'Intelligenza Artificiale, la Fisica delle Particelle e i Circuiti Elettronici. 

Alla prossima !

NOTA del 09/05/2026:

nel punto "2) I termini in cui la formula è vera" ci si chiede per quale motivo la formula risulti falsa solamente quando sono falsi tutti gli elementi "xj" e la parte estranea/complessiva {I(k)}. La formula risulta vera in tutti gli altri casi. Ebbene, dopo un'analisi più approfondita, risulta che quella è l'unica casistica in cui le due proposizioni (quella in OR e quella in AND) assumono il medesimo valore di verità, per cui non è più valida la Legge di Complementarità di Augustus de Morgan. Venendo a mancare la Legge di Complementarità, viene a mancare la dualità concetto/raggruppamento che ne deriva. In altre parole quel caso non vanifica l'Estensione nello Spazio, ma vanifica proprio la dualità concetto/raggruppamento che ne costituisce il fondamento teorico.

Space Logic in Venn diagrams

If you read my topics on space extension, in this blog or my book, then you know what i mean when i say "N(X) grouping" and the "{N(K)} extraneous/overall part". And you know that Logic is not limited to analize language inferences and truths, because Logic compose and explain geometric space and material world too. Now, in the light of my new logical advances, we process to deduce and explain some parts. In this topic, we discuss the space logic in Venn diagrams, explain their extension, so that Logic can look at herself in a mirror. Well, after reading this topic, you realize that Venn diagrams are wrong. That's right, good old John Venn didn't draw them well! Let's get to the details.

Let's study the simplest diagram, to not unnecessarily complicate this topic. The next diagram simply indicates that Socrates is a philosopher, placing Socrates circle inside the circle relating to the concept of philosopher. This is a half-syllogism. Socrates implies philosophy. In fact, if there is no philosopher, then can be no Socrates. Recall that in Venn diagrams, if concept A implies concept B, then circle A is inside circle B.

Let's try to describe the space logic of those two circles. To do this, we divide Socrates circle "S" into many points "sj". And the philosopher circle "F" will be composed of the smaller circle S plus the other points "fj".

Previous picture can be written as follows:

S = N(s) and {N(B)}

F = S and N(f) and {N(A)}

{N(A)} and {N(B)} are the extraneous/overall parts of the two geometric shapes. Specifically, {N(B)} means {group the sj points to compose the small circle S} and {N(A)} means {group the circle S and the fj points to compose the large circle F}.

We see that the logical implication is reversed: F implies S. In fact, if "S and N(f) and {N(A)}" is true, then S must be true, that is:

S and N(f) and {N(A)} --> S

In conclusion, looking at the picture, we deduce the opposite of what John Venn intended: philosophy implies Socrates!

How can we understand this contradiction? The answer is simple!

If a large circle contains a small circle, then the large circle implies the small circle and depends on it. In fact, if you remove the small circle, the large one inevitably becomes a donut with a hole. Conversely, if you remove the large circle, the small one contained within it is not deformed. This concept is expressed in the next picture. Recall that new logical tools i discovered describe the logic of the space, as well as that of propositions.

Now, the question is why John Venn chose to place logical implication toward the outside of the diagram, rather than the inside. In my opinion, John Venn's choice was psychological. Is based on how human beings perceive reality. The human approach to understanding the world is bottom-up. Since ancient times, humans looking at particular objects around them, separate from each other, such as plants, animals, and people entering their vision. Later, turning their eyes to the sky, they think about abstract sense of things, looking for a general concept. Thus, instinctively, the most general concept "touches the sky" and contains the more specific ones, which appear separate from each other.

In despite of this, Logic would dictate the opposite. Logic dictate that the most general idea is a point at the center of the vision, so that all specific objects, intersecting it, would imply it. Obviously, this is impossible for human beings, because they don't see generic concepts at the center of their vision. The next picture draws the psychological approach of Venn diagrams. In Picture A, we see Venn diagrams as is. In Picture B, we see that these diagrams are similar to visual perception, whereby concrete things are located at the center. In Picture C, we see the correct Venn diagrams, where the philosopher and the sex are located at the center of the diagram, to graphically imply the external parts.

In conclusion we can say the following: 

really, John Venn didn't make a mistake. He chose a convention over another. Venn diagrams are valid, even if they are inverted with the space logic.

Two centuries ago occurs the same with Electronics. 

Initially, we thought that electric current moving from positive to negative, so all the formulas and diagrams were based on that convention. When we discovered electrons, we realize the opposite, but all these conventions remained valid, because they are not contradictory.

La corporeità dei diagrammi di Venn

Chi ha letto il mio libro, oppure i miei topic riguardo l'estensione nello spazio sul blog, sa cosa intendo per raggruppamenti N(X) e parte estranea/complessiva {N(K)}. Quindi sa che la Logica non si limita sterilmente a comporre e verificare proposizioni, ma è in grado anche di comporre e verificare lo spazio geometrico.

Ora, alla luce di questi nuovi progressi logici di cui sono l'artefice, è evidente che la Logica può dedurre e spiegare alcune parti di se stessa.

In questo topic vogliamo dedurre i diagrammi di Venn, spiegare la loro corporeità, in modo che la Logica possa iniziare a guardarsi allo specchio e discutere alcune parti di se stessa.

Ebbene, dopo aver letto questo topic, vi renderete conto che i diagrammi di Venn sono sbagliati. Proprio così, il buon John Venn non li ha fatti bene! Passiamo ai dettagli.

Studiamo il diagramma più semplice possibile, per non complicare inutilmente questo topic. Il prossimo diagramma indica semplicemente che Socrate è un filosofo, inserendo il cerchio di Socrate all'interno di quello relativo al concetto di filosofo. Si tratta di un mezzo sillogismo. Socrate implica la filosofia. Viceversa, se non c'è un filosofo, allora non può esserci neanche Socrate. Ricordiamo infatti che nei diagrammi di Venn se il concetto A implica il concetto B, allora il cerchio A è incluso nel cerchio B.

Vediamo adesso di descrivere la corporeità di quei due cerchi. Per far questo dividiamo il cerchio piccolo "S" di Socrate in tanti piccoli punti "sj". E il cerchio grande "F" del filosofo risulterà composto dal cerchio più piccolo S più gli altri punti "fj".

Questa composizione si può scrivere come di seguito:

S = N(s) and {N(B)}

F = S and N(f) and {N(A)}

Dove {N(A)} e {N(B)} sono le parti estranee/complessive delle due figure geometriche. Nello specifico, {N(B)} vuol dire {raggruppa i punti sj per formare il cerchio piccolo S}. Mentre {N(A)} vuol dire {raggruppa il cerchio S e i punti fj per formare il cerchio grande F}.

Vediamo quindi che l'implicazione logica è rovesciata: F implica S. Infatti, se "S and N(f) and {N(A)}" è vero, allora è necessario che sia vero S, cioè:

S and N(f) and {N(A)} --> S

In conclusione, guardando la figura, si deduce il contrario di quello che voleva John Venn: cioè la filosofia implica Socrate !

Come possiamo interpretare questa contraddizione ?

L'interpretazione è semplice:

se un cerchio grande contiene un cerchio piccolo, allora il cerchio grande implica quello piccolo e dipende da esso. Infatti, se togliamo il cerchio piccolo, inevitabilmente quello grande si trasforma in una ciambella col buco. Viceversa, se noi togliamo il cerchio grande, quello piccolo contenuto in esso non viene deformato. Questo concetto viene espresso nella prossima figura. Ricordiamo che i nuovi strumenti logici che ho scoperto descrivono la logica dello spazio, oltre a quella delle proposizioni.

A questo punto resta da chiedersi per quale motivo John Venn abbia scelto di porre l'implicazione logica verso l'esterno del diagramma, invece che verso l'interno. Secondo me, la scelta di John Venn è stata di natura psicologica. Fondamentalmente si basa sul modo in cui gli esseri umani percepiscono la realtà. L'approccio umano per la comprensione del mondo è di tipo bottom-up. Fin dai tempi antichi, l'uomo è abituato a vedere oggetti particolari intorno a lui, separati tra loro, come piante, animali e persone che entrano nel suo campo visivo. Solo successivamente, volgendo magari gli occhi al cielo, subentra in lui la riflessione e l'astrazione, con il proposito di trovare un concetto generale. Per cui istintivamente il concetto più generico "tocca il cielo" e contiene quelli più particolari che appaiono separati tra loro. Invece la Logica vorrebbe il contrario. Cioè che l'idea più generica fosse un punto al centro del campo visivo, in modo che tutti gli oggetti particolari, intersecandola, la implicherebbero. Ovviamente per gli esseri umani questo è impossibile, perchè non vedono concetti generici al centro del loro campo visivo. La prossima immagine esprime l'impostazione psicologica dei diagrammi di Venn. In Figura A vediamo i diagrammi di Venn, così come noi li conosciamo. In Figura B vediamo che questi diagrammi presentano un'analogia con la nostra percezione visiva, per cui le cose concrete si trovano al centro. In Figura C vediamo i diagrammi di Venn corretti. Vediamo cioè che i concetti di filosofo e di sesso si trovano al centro del diagramma, in modo da implicare graficamente le parti esterne.

Concludiamo questo topic asserendo quanto segue: in realtà John Venn non ha sbagliato. Ha solamente scelto una convenzione invece di un'altra. I diagrammi di Venn sono sempre validi, anche se invertiti rispetto alla logica dello spazio geometrico.

Lo stesso problema si è presentato due secoli fa con lo studio dell'Elettronica. Inizialmente si pensava che la corrente elettrica si spostasse dal polo positivo a quello negativo, per cui tutte le formule e i diagrammi sono stati ideati basandosi su quella convenzione. Poi sono stati scoperti gli elettroni e ci si è resi conto del contrario, ciononostante tutte quelle convenzioni sono state mantenute valide, in quanto non contraddittorie.