Applicazioni dell' Estensione nello Spazio - Parte 1

Amici e appassionati di Science Fiction Leo,
in questo post vorrei riepilogare alcuni risultati che mettono in luce le possibilità della formula dell'Estensione nello Spazio, in grado di distinguere gli oggetti spaziali da quelli che non lo sono. Vedremo in breve come questa formula che ho scoperto consenta la dimostrazione di enunciati matematici prima d'ora postulati come assunti indimostrabili. Molti di voi sapranno già di che si tratta, perchè ne avranno già letto sul blog, però ogni tanto è utile rinfrescare la memoria. Allora, iniziamo con l'enunciare la formula, che consiste in un insieme di due proposizioni logiche, e nel definire i termini in cui risulta vera.

1) La formula.
La formula è questa:
x = x1 or x2 or ... or xn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and {I(k)}
Nello specifico, l'oggetto spaziale è I(x).
Si tratta di un caso particolare della legge di Augustus de Morgan, che riscriviamo qui sotto:
x = x1 or x2 or ... or xn
NOT x = NOT x1 and NOT x2 and ... and NOT xn
La prima differenza consiste nella diversa interpretazione dell'operatore unario, che in Augustus de Morgan vuol dire negazione NOT, mentre nell'estensione nello spazio vuol dire raggruppamento, insieme I. La seconda differenza consiste nell'aggiunta di un termine in AND nella seconda proposizione, che non trova corrispondenza tra quelli disgiunti. Questo termine poteva essere scritto come I(xn+1), ma invece abbiamo inserito le parentesi graffe e messo "k" per evidenziarlo ulteriormente, scrivendolo come {I(k)}, la parte "estranea/complessiva".

2) I termini in cui la formula è vera.
La formula è sempre vera. Risulta falsa solamente quando sono falsi tutti gli elementi "xj" e la parte estranea/complessiva {I(k)}. Forse si tratta di una casistica poco significativa, dal momento che sarebbero falsi tutti gli elementi presi in esame, ma non sarebbe male ragionarci sopra, perchè comunque vuol dire che la formula non è una tautologia. Di seguito l'analisi effettuata con le tavole di verità di Ludwig Wittengstein e poi con il metodo inferenziale di Gerhard Gentzen.
Tavola di verità:

per la tavola di verità ci siamo limitati a due soli elementi x1 ed x2, altrimenti la trattazione sarebbe stata troppo ingombrante, ma è facile dedurre che il risultato non cambia aggiungendo quanti si voglia elementi.
Metodo inferenziale:

per il metodo inferenziale ho semplificato ulteriormente la formula togliendo due bi-implicazioni e trattando la terza bi-implicazione prima in un verso, poi nell'altro. Si noti che la prossima implicazione non è una tautologia, perchè bisogna premettere x1, oppure x2, oppure {I(k)}

La prossima implicazione invece è una tautologia e non richiede premesse.

3) Dimostrazioni.
Passiamo adesso all'argomento più interessante di questo topic, cioè le dimostrazioni che per la prima volta risultano possibili.

a) Un insieme I(n) di numeri pari {2, 4, 6} non è un oggetto spaziale.
Scriviamolo come di seguito:
n = 2 or 4 or 6
I(n) = (I(2) and I(4) and I(6)) --> I(k) 
dove I(k) vuol dire "i numeri sono pari".
Come potete notare, la struttura logica non è quella di un oggetto spaziale. Infatti l'elemento I(k) non viene aggiunto tramite congiunzione AND, ma tramite implicazione -->, pertanto è complessivo, ma non estraneo. Questo perchè osservando l'insieme (I(2) and I(4) and I(6)) si deduce già da esso, analizzandolo, che è un insieme di numeri pari, senza metterlo in congiunzione con una parte estranea.

b) Un oggetto spaziale I(x) è divisibile all'infinito.
Da sempre i matematici dividono le figure geometriche all'infinito per consentire le loro dimostrazioni. Pensiamo al metodo di esaustione di Archimede e poi, secoli dopo, ai metodi di integrazione e derivazione nella geometria analitica. L'infinito è sempre stato un grattacapo per i matematici, perchè alcuni di loro hanno cercato di evitarlo nei loro argomenti, pur utilizzandolo implicitamente. D'altronde ognuno di noi, senza essere matematico, può immaginare un cerchio o una sfera ed iniziare a dividerla in infinite parti con la fantasia. Questo perchè l'infinito è inscindibile dalla percezione spaziale. Ora, per la prima volta, dimostreremo che gli oggetti spaziali sono divisibili all'infinito. Supponiamo che I(x) sia un oggetto spaziale e scriviamone la consueta formula:
x = x1 or x2 or ... or xn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and {I(k)}
Supponiamo invece che la parte estranea/complessiva I(k) non sia un oggetto spaziale. In tal caso dovremmo scriverla a sua volta senza parte estranea/complessiva, cioè:
k = k1 or k2 or ... or kn
I(k) = I(k1) and I(k2) and ... and I(kn)
Ma allora I(x) dovrebbe essere riscritto come di seguito:
x = x1 or x2 or ... or xn or k1 or k2 or ... or kn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and I(k1) and I(k2) and ... and I(kn)
Quindi anche I(x) sarebbe senza parte estranea/complessiva, contro l'ipotesi iniziale, perchè tutti gli elementi in congiunzione corrisponderebbero a quelli in disgiunzione. E' necessario quindi, che se I(x) è un oggetto spaziale, lo sia anche la sua parte estranea/complessiva {I(k)}, la quale, essendo spaziale a sua volta, conterrà un'altra parte estranea/complessiva, e così via, per cui un oggetto spaziale è divisibile all'infinito in altri oggetti spaziali.

c) Le coniche sono oggetti spaziali.
Certo che lo sono, i greci le studiavano espressamente, ma è possibile dimostrarlo ? Di sicuro. Una conica I(p) può essere scritta come di seguito:
p = p1 or p2 or ... or pn
I(p) = I(p1) and I(p2) and ... and I(pn) and {I(k)}
Dove pj sono i suoi punti generici ed {I(k)} è la parte estranea/complessiva che, a seconda dei casi, vorrà dire "equidistanza dei punti pj dal centro", oppure "equivalenza della somma delle distanze dei punti pj dai fuochi", oppure "equidistanza dei punti pj dal fuoco e da una retta", eccetera, a seconda che si tratti di cerchi, ellissi, parabole o qualsiasi altra figura. In altre parole {I(k)} è il luogo dei punti. Si noti che il luogo dei punti va aggiunto necessariamente in AND, perchè non può essere implicato in alcun modo leggendo l'espressione "I(p1) and I(p2) and ... and I(pn)". Da cui ne risulta che la struttura delle coniche è quella di tutti gli oggetti spaziali.

Facciamo ora un salto di secoli, passando dalle coniche degli antichi greci al metodo moderno della geometria analitica. Ebbene, nella prossima dimostrazione, vedremo che la formula dell'estensione nello spazio continua a centrare il bersaglio.

d) I punti del piano cartesiano sono oggetti spaziali.
Un punto P(x,y) del piano cartesiano può essere riscritto come l'oggetto I(r) che segue:
r = x or y
I(r) = I(x) and I(y) and {I(k)}
Dove x ed y sono due numeri reali, r è il numero reale generico ed {I(k)} vuol dire "i due numeri sono coordinate". Si noti che il fatto che i due numeri sono coordinate va necessariamente aggiunto in AND, perchè non può essere implicato in alcun modo osservando due numeri x ed y. Pertanto la struttura del punto I(r) nel piano cartesiano è quella di un oggetto spaziale. 

e) Un insieme I(n) di numeri primi tra loro {3, 5, 11} non è un oggetto spaziale. 

Scriviamolo come di seguito:
n = 3 or 5 or 11
I(n) = (I(3) and I(5) and I(11)) --> I(k) 
dove I(k) vuol dire "i numeri sono primi tra loro".
Come potete notare, la struttura logica non è quella di un oggetto spaziale. Infatti l'elemento I(k) non viene aggiunto tramite congiunzione AND, ma tramite implicazione -->, pertanto è complessivo, ma non estraneo. Questo perchè osservando l'insieme (I(3) and I(5) and I(11)) si deduce già da esso, analizzandolo, che è un insieme di numeri primi tra loro, senza metterlo in congiunzione con una parte estranea.

f) Dimostrazione della formula dell'Estensione nello Spazio.
Questo passo si propone di dimostrare la formula stessa dell'Estensione nello Spazio, cioè il fatto che un oggetto spaziale I(x) può essere scritto come:
x = x1 or x2 or ... or xn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and {I(k)}
Si tratta pertanto di un meta-teorema. A tal fine, definiamo prima lo spazio come ciò che deve essere capito necessariamente tramite percezione, e non solo tramite l'analisi di una formula. Quindi se l'insieme I(x) corrisponde ad un oggetto spaziale, sarà necessario scriverlo come segue:
x = x1 or x2 or ... or xn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and {percezione}
Dove la percezione eccede gli elementi dell'insieme che corrispondono a quelli disgiunti. Supponiamo che la percezione sia a sua volta un oggetto I(y). In tal caso potremmo riscrivere l'oggetto spaziale I(x) come di seguito:
x = x1 or x2 or ... or xn or y1 or y2 or ... or yn
I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and I(y1) and I(y2) and ... and I(yn)
dove gli elementi x ed y possono corrispondere a qualsiasi formula di qualsivoglia complessità. A questo punto però l'oggetto spaziale I(x) sarebbe comprensibile leggendone la formula, per quanto complessa essa sia, senza alcuna percezione, contrariamente all'ipotesi iniziale. E' necessario quindi aggiungere nuovamente l'elemento {percezione}, di conseguenza l'oggetto spaziale dovrà sempre contenere un elemento che eccede rispetto a quelli disgiunti, e questo elemento sarà chiamato "parte estranea/complessiva {I(k)}".

La teoria dell'Estensione nello Spazio non è tutta rose e fiori.
Alcuni esempi sono controversi e problematici.
Di seguito ne elenchiamo alcuni.

1) Risulta che un insieme ordinato, sia di lettere che di numeri, è un oggetto spaziale. Vedi l'espressione seguente:
n = 1 or 2 or 3
I(n) = I(1) and I(2) and I(3) and {I(k)}
dove {I(k)} vuol dire "ordine crescente/decrescente dei numeri". Se volessimo imporre l'ordine crescente/decrescente dovremmo necessariamente inserirlo in AND, perchè l'insieme generico (I(1) and I(2) and I(3)) non implica che i numeri siano in ordine crescente/decrescente. Siamo d'accordo sulla spazialità, se pensiamo che i numeri in ordine crescente/decrescente possono essere disposti su linee, termometri, e che quindi significano un criterio di basso verso l'alto, oppure sinistra verso destra. Però, questo vuol dire che qualsiasi insieme ordinato, anche i tre numeri interi presi in esempio, è un oggetto infinito. Ne riparleremo quando affronteremo specificamente l'Ipotesi dei Continuo.

2) Risulta che un oggetto può essere al tempo stesso spaziale o non spaziale, secondo i punti di vista. Riprendiamo l'esempio del punto P(x,y) sul piano cartesiano e riscriviamolo come di seguito:
coordinata = coordinata "x" or coordinata "y"
Punto = I(coordinata) = I(coordinata "x") and I(coordinata "y")
Se pensiamo al punto come insieme di coordinate, invece che di numeri reali, non c'è più bisogno di aggiungere una parte estranea/complessiva. Siamo d'accordo, se consideriamo la percezione spaziale come mentalismo. Qualsiasi oggetto può essere astratto o concreto, a seconda del contesto in cui lo colloca il nostro pensiero. Una pietra è concreta, ma posso riferirmi alla pietra in senso astratto. Il "bene" sembra astratto, ma posso trasporlo in figure concrete. Similmente lo spazio può essere dematerializzato dal pensiero.

3) Risulta che i simboli sono oggetti spaziali:
simbolo = x or y
I(simbolo) = I(x) and I(y) and {I(k)}
dove {I(k)} può vuol dire "x e y sono numeri pari".
Osservando due simboli qualsiasi x ed y non ci sarebbe alcun modo per dedurre che si riferiscono a numeri pari, o a qualsiasi altra cosa, a meno che noi lo aggiungessimo in AND come parte estranea/complessiva. Anche su questo siamo d'accordo, se pensiamo che i simboli, di per sè, spogliati del loro significato, sono figure. Quindi il nostro cervello aggiunge un significato ad una combinazione di figure spaziali. Il problema viene raggirato pensando già x ed y come numeri pari, invece che simboli:
p = x or y
I(p) = I(x) and I(y)
In quest'ultimo caso p è il numero pari generico e I(p) è l'insieme di due numeri pari, che non è più un oggetto spaziale e non ha più la parte estranea/complessiva.

In questo topic abbiamo riassunto alcune potenzialità teoriche della formula dell'estensione nello spazio. In un prossimo topic ne ipotizzeremo le applicazioni pratiche. Le prime che mi vengono in mente riguardano l'Intelligenza Artificiale, la Fisica delle Particelle e i Circuiti Elettronici. 

Alla prossima !

Space Logic in Venn diagrams

If you read my topics on space extension, in this blog or my book, then you know what i mean when i say "N(X) grouping" and the "{N(K)} extraneous/overall part". And you know that Logic is not limited to analize language inferences and truths, because Logic compose and explain geometric space and material world too. Now, in the light of my new logical advances, we process to deduce and explain some parts. In this topic, we discuss the space logic in Venn diagrams, explain their extension, so that Logic can look herself in a mirror. Well, after reading this topic, you realize that Venn diagrams are wrong. That's right, good old John Venn didn't draw them well! Let's get to the details.

Let's study the simplest diagram, to not unnecessarily complicate this topic. The next diagram simply indicates that Socrates is a philosopher, placing Socrates circle inside the circle relating to the concept of philosopher. This is a half-syllogism. Socrates implies philosophy. In fact, if there is no philosopher, then can be no Socrates. Recall that in Venn diagrams, if concept A implies concept B, then circle A is inside circle B.

Let's try to describe the space logic of those two circles. To do this, we divide Socrates circle "S" into many points "sj". And the philosopher circle "F" will be composed of the smaller circle S plus the other points "fj".

Previous picture can be written as follows:

S = N(s) and {N(B)}

F = S and N(f) and {N(A)}

{N(A)} and {N(B)} are the extraneous/overall parts of the two geometric shapes. Specifically, {N(B)} means {group the sj points to compose the small circle S} and {N(A)} means {group the circle S and the fj points to compose the large circle F}.

We see that the logical implication is reversed: F implies S. In fact, if "S and N(f) and {N(A)}" is true, then S must be true, that is:

S and N(f) and {N(A)} --> S

In conclusion, looking at the picture, we deduce the opposite of what John Venn intended: philosophy implies Socrates!

How can we understand this contradiction? The answer is simple!

If a large circle contains a small circle, then the large circle implies the small circle and depends on it. In fact, if you remove the small circle, the large one inevitably becomes a donut with a hole. Conversely, if you remove the large circle, the small one contained within it is not deformed. This concept is expressed in the next picture. Recall that new logical tools i discovered describe the logic of the space, as well as that of propositions.

Now, the question is why John Venn chose to place logical implication toward the outside of the diagram, rather than the inside. In my opinion, John Venn's choice was psychological. Is based on how human beings perceive reality. The human approach to understanding the world is bottom-up. Since ancient times, humans looking particular objects around them, separate from each other, such as plants, animals, and people entering their vision. Later, turning their eyes to the sky, they think about abstract sense of things, looking for a general concept. Thus, instinctively, the most general concept "touches the sky" and contains the more specific ones, which appear separate from each other.

In despite of this, Logic would dictate the opposite. Logic dictate that the most general idea is a point at the center of the vision, so that all specific objects, intersecting it, would imply it. Obviously, this is impossible for human beings, because they don't see generic concepts at the center of their vision. The next picture draws the psychological approach of Venn diagrams. In Picture A, we see Venn diagrams as is. In Picture B, we see that these diagrams are similar to visual perception, whereby concrete things are located at the center. In Picture C, we see the correct Venn diagrams, where the philosopher and the sex are located at the center of the diagram, to graphically imply the external parts.

In conclusion we can say the following: 

really, John Venn didn't make a mistake. He chose a convention over another. Venn diagrams are valid, even if they are inverted with the space logic.

Two centuries ago occurs the same with Electronics. 

Initially, we thought that electric current moving from positive to negative, so all the formulas and diagrams were based on that convention. When we discovered electrons, we realize the opposite, but all these conventions remained valid, because they are not contradictory.

La corporeità dei diagrammi di Venn

Chi ha letto il mio libro, oppure i miei topic riguardo l'estensione nello spazio sul blog, sa cosa intendo per raggruppamenti N(X) e parte estranea/complessiva {N(K)}. Quindi sa che la Logica non si limita sterilmente a comporre e verificare proposizioni, ma è in grado anche di comporre e verificare lo spazio geometrico.

Ora, alla luce di questi nuovi progressi logici di cui sono l'artefice, è evidente che la Logica può dedurre e spiegare alcune parti di se stessa.

In questo topic vogliamo dedurre i diagrammi di Venn, spiegare la loro corporeità, in modo che la Logica possa iniziare a guardarsi allo specchio e discutere alcune parti di se stessa.

Ebbene, dopo aver letto questo topic, vi renderete conto che i diagrammi di Venn sono sbagliati. Proprio così, il buon John Venn non li ha fatti bene! Passiamo ai dettagli.

Studiamo il diagramma più semplice possibile, per non complicare inutilmente questo topic. Il prossimo diagramma indica semplicemente che Socrate è un filosofo, inserendo il cerchio di Socrate all'interno di quello relativo al concetto di filosofo. Si tratta di un mezzo sillogismo. Socrate implica la filosofia. Viceversa, se non c'è un filosofo, allora non può esserci neanche Socrate. Ricordiamo infatti che nei diagrammi di Venn se il concetto A implica il concetto B, allora il cerchio A è incluso nel cerchio B.

Vediamo adesso di descrivere la corporeità di quei due cerchi. Per far questo dividiamo il cerchio piccolo "S" di Socrate in tanti piccoli punti "sj". E il cerchio grande "F" del filosofo risulterà composto dal cerchio più piccolo S più gli altri punti "fj".

Questa composizione si può scrivere come di seguito:

S = N(s) and {N(B)}

F = S and N(f) and {N(A)}

Dove {N(A)} e {N(B)} sono le parti estranee/complessive delle due figure geometriche. Nello specifico, {N(B)} vuol dire {raggruppa i punti sj per formare il cerchio piccolo S}. Mentre {N(A)} vuol dire {raggruppa il cerchio S e i punti fj per formare il cerchio grande F}.

Vediamo quindi che l'implicazione logica è rovesciata: F implica S. Infatti, se "S and N(f) and {N(A)}" è vero, allora è necessario che sia vero S, cioè:

S and N(f) and {N(A)} --> S

In conclusione, guardando la figura, si deduce il contrario di quello che voleva John Venn: cioè la filosofia implica Socrate !

Come possiamo interpretare questa contraddizione ?

L'interpretazione è semplice:

se un cerchio grande contiene un cerchio piccolo, allora il cerchio grande implica quello piccolo e dipende da esso. Infatti, se togliamo il cerchio piccolo, inevitabilmente quello grande si trasforma in una ciambella col buco. Viceversa, se noi togliamo il cerchio grande, quello piccolo contenuto in esso non viene deformato. Questo concetto viene espresso nella prossima figura. Ricordiamo che i nuovi strumenti logici che ho scoperto descrivono la logica dello spazio, oltre a quella delle proposizioni.

A questo punto resta da chiedersi per quale motivo John Venn abbia scelto di porre l'implicazione logica verso l'esterno del diagramma, invece che verso l'interno. Secondo me, la scelta di John Venn è stata di natura psicologica. Fondamentalmente si basa sul modo in cui gli esseri umani percepiscono la realtà. L'approccio umano per la comprensione del mondo è di tipo bottom-up. Fin dai tempi antichi, l'uomo è abituato a vedere oggetti particolari intorno a lui, separati tra loro, come piante, animali e persone che entrano nel suo campo visivo. Solo successivamente, volgendo magari gli occhi al cielo, subentra in lui la riflessione e l'astrazione, con il proposito di trovare un concetto generale. Per cui istintivamente il concetto più generico "tocca il cielo" e contiene quelli più particolari che appaiono separati tra loro. Invece la Logica vorrebbe il contrario. Cioè che l'idea più generica fosse un punto al centro del campo visivo, in modo che tutti gli oggetti particolari, intersecandola, la implicherebbero. Ovviamente per gli esseri umani questo è impossibile, perchè non vedono concetti generici al centro del loro campo visivo. La prossima immagine esprime l'impostazione psicologica dei diagrammi di Venn. In Figura A vediamo i diagrammi di Venn, così come noi li conosciamo. In Figura B vediamo che questi diagrammi presentano un'analogia con la nostra percezione visiva, per cui le cose concrete si trovano al centro. In Figura C vediamo i diagrammi di Venn corretti. Vediamo cioè che i concetti di filosofo e di sesso si trovano al centro del diagramma, in modo da implicare graficamente le parti esterne.

Concludiamo questo topic asserendo quanto segue: in realtà John Venn non ha sbagliato. Ha solamente scelto una convenzione invece di un'altra. I diagrammi di Venn sono sempre validi, anche se invertiti rispetto alla logica dello spazio geometrico.

Lo stesso problema si è presentato due secoli fa con lo studio dell'Elettronica. Inizialmente si pensava che la corrente elettrica si spostasse dal polo positivo a quello negativo, per cui tutte le formule e i diagrammi sono stati ideati basandosi su quella convenzione. Poi sono stati scoperti gli elettroni e ci si è resi conto del contrario, ciononostante tutte quelle convenzioni sono state mantenute valide, in quanto non contraddittorie.

La Scienza di Leo - Perchè le cose blu non si mangiano ?

Amici, già in passato, nella sezione scientifica del blog, ci siamo occupati delle particolarità dei colori, che nel corso dei secoli hanno incuriosito pensatori originali come Isaac Newton, Wolfgang Goethe e Ludwig Wittengstein. Nello specifico, abbiamo analizzato la struttura della luce e delle onde elettromagnetiche al fine di capire per quale motivo il giallo e il bianco si confondono tra loro, pur essendo due colori diversi:

https://sciencefictionleo.blogspot.com/2022/01/perche-il-giallo-sembra-bianco.html

La risposta che ho dato al problema mi sembra scientificamente plausibile e spero sia piaciuta anche a voi. Non ripeteremo qui la teoria ondulatoria della luce e le leggi della percezione visiva, perchè ne abbiamo già discusso in quel link, ma cercheremo subito di rispondere alla domanda del topic: "perchè le cose blu non si mangiano ?"

Di seguito, riproponiamo l'immagine di apertura del topic precedente, dove tutti voi potete constatare che i colori giallo e rosso rimandano a qualcosa di salubre, salvifico, perchè sono i colori del Sole, del grano e della frutta, mentre il blu, nonostante sia più elegante, non ci riporta a nulla di appetibile e concupibile, ma addirittura, a qualcuno, fa pensare alla morte.

Il blu è il colore dominante sul Pianeta Terra, perchè è il colore delle acque e dei cieli, eppure nessuno di noi mangerebbe un animale blu, oppure un frutto blu. Si potrebbe pensare che il "granchio blu" sia una famigerata eccezione che confermi la regola, ma non è così, perchè dentro la polpa è bianca. Tra l'altro è buonissimo. Se invece la polpa interna fosse blu come il suo esoscheletro, di certo non lo mangeremmo mai.

Sul web potete trovare articoli che hanno già tentato di rispondere alla domanda, ma non mi convincono. L'ipotesi diffusa è che il pigmento blu è repellente in quanto caratterizza alcune sostanze chimiche non commestibili, che risultano dannose per il nostro organismo. Ma questa risposta non vuol dire assolutamente niente. Il cielo e l'acqua non sono repellenti, nè dannosi per il nostro organismo. Il fuoco invece lo è, nonostante i bei rossi e i gialli vivi che lo caratterizzano. Tra l'altro, da un punto di vista evolutivo, non si capisce come sia possibile che un organismo si trovi a respingere il colore blu senza al tempo stesso aver paura del cielo, del mare e dei cristalli. Ci vorrebbero milioni e milioni di anni di selezione naturale, invece che migliaia. Secondo me invece la risposta è tutt'altra, ed è strano che nessuno ci abbia pensato. Innanzitutto bisogna dire che non esistono "oggetti blu", ma "oggetti che a noi appaiono blu". Un oggetto che gli esseri umani percepiscono blu, viene percepito verde o giallo da un insetto. Per altri animali sarà addirittura un corpo nero, invisibile. Sappiamo che le mucche vedono il mondo in bianco e nero, ma non solo: anche all'interno del genere umano, esistono persone daltoniche che percepiscono i colori in maniera diversa e chiunque di noi, utilizzando gli occhiali militari ad infrarossi, può sperimentare una percezione alterata della realtà. La domanda deve quindi essere riformulata come di seguito: "Perchè le cose che ci appaiono blu non si mangiano ?"

Ora è evidente che qualsiasi organismo, per sopravvivere, deve potersi trovare in condizione di nutrirsi, difendersi ed accoppiarsi. Questo organismo, focalizzerà al centro del proprio campo visivo, sempre che disponga di occhi, proprio il suo cibo, i suoi predatori e la sua femmina. Non si soffermerà ad osservare le nuvole in cielo, perchè non gli servono per sopravvivere. E' molto semplice spostare il campo visivo, perchè è sufficiente muovere la testa o roteare le orbite oculari. Ebbene, nel corso di migliaia e migliaia di anni, anche lo spettro luminoso che l'organismo può percepire si sarà focalizzato su quegli elementi che sono indispensabili per la sua sopravvivenza. Questo vuol dire che al centro dello spettro luminoso che percepisce, che nel genere umano corrisponde circa ad una lunghezza d'onda di 560 nanometri, ci saranno proprio le cose che gli interessano e che deve mangiare. Ecco perchè le cose buone, come il grano, il latte, la carne e la verdura, hanno un colore tra il giallo e il rosso, appena al di sotto dei 560 nanometri, oppure verde, leggermente al di sopra. Proprio perchè la selezione naturale, nel corso di millenni, ha "tarato" lo spettro luminoso che percepiamo in modo tale da mettere al centro le cose che ci servono. Al contrario, tutto ciò che non ci serve per vivere, perchè non rientra nel nostro metabolismo, si troverà ai margini dello spettro luminoso, di conseguenza assumerà un colore blu, nero o violetto.

Abbiamo capito quindi un concetto fondamentale. Non è vero che "le cose blu non si mangiano". E' vero invece che "le cose che non si mangiano ci appaiono blu". Il rapporto di causa/effetto è l'inverso. La selezione naturale pone ai margini del nostro spettro luminoso le cose inutili e non commestibili. Non a caso gli oggetti neri e violetti ci risultano repellenti come quelli blu.

Il prossimo disegno esemplifica il concetto esposto. In Figura A vediamo una mamma con il suo bambino. La mamma focalizza il bambino e lo pone al centro del proprio campo visivo, perchè il figlio è la cosa che più le interessa. Le nuvole, gli uccelli e le piante non le interessano quanto suo figlio. E' anche vero che in qualsiasi momento la mamma può spostare il campo visivo semplicemente roteando le orbite oculari o girando il collo. In Figura B vediamo lo spettro luminoso che la stessa mamma può percepire. Al centro dello spettro luminoso la natura ha posto le cose che per lei sono importanti, cioè i colori del figlio, della carne, del grano, della verdura e della frutta. Invece ai margini dello spettro troviamo tutto ciò che è ininfluente per la sua sopravvivenza, cioè i cristalli, i lapislazzuli e la frutta appassita. Al di fuori del range compreso tra i 380 e i 740 nanometri c'è addirittura l'invisibile, i corpi neri. Ironicamente, ho disegnato una stella di neutroni tra l'ultravioletto e i raggi gamma, ed un mostro alieno nell'infrarosso.

NOTA1: sarebbe interessante sapere se in natura esistono animali in grado di "tarare" lo spettro luminoso a seconda delle proprie esigenze, esattamente come noi possiamo spostare lo sguardo da una parte all'altra. Questi animali vedrebbero uno stesso oggetto di volta in volta blu, verde o rosso, inoltre potrebbero farlo sparire e riapparire secondo le loro necessità. Probabilmente sul Pianeta Terra lo spettro luminoso è "fisso", ma in altri pianeti, dove le condizioni di vita sarebbero più difficili, alcuni animali potrebbero essersi evoluti in tal senso.

NOTA2: alcuni studiosi, osservando gli affreschi murali degli antichi egizi, greci e romani, si sono chiesti per quale motivo il colore blu non venisse mai utilizzato. E' stato ipotizzato che gli antichi non considerassero il blu come un colore, ma solamente come una gradazione di grigio. Sarebbe interessante sapere se questa prerogativa scaturisse dal gusto dell'epoca, oppure se gli antichi fossero geneticamente diversi da noi, per cui percepissero il blu come un corpo nero, ma in tal caso non avrebbero potuto ammirare nè il cielo, nè il mare, nè le pietre preziose.

Science - The mystery of abdominal muscles

Dear Friends, you're noticed that human beings are different from other species by a series of characteristics, such as intelligence, size of the skull, erect posture, and so on.

In my opinion, human beings are more different in abdominal muscles too, because they are more developed in us, to seems a turtle.

If you have a pet, a dog or a cat, you can try to turning it and placing it on its back. This way, you can see that these animals don't have abdominal muscles as ours; in essence, they don't have a turtle.

The strangest thing is that apes and gorillas, similar to us, and orangutans and chimpanzees, lack the abdominal muscles, so they are an exclusive of human beings.

Why ?

First, we need to understand what abdominal muscles do. These muscles, when we are suspended, allow us to lift our legs and bring them closer to chest. They can be used to lift our legs when we lying down, but in this case, other muscles, such as thighs, can be used. Evidently, for some mysterious reason, while the course of human evolution, human beings needs to lift their legs and bring them closer to chest.

All scientists agrees that humanity achieved upright posture thousands years ago, when the forests in Africa disappeared, forcing hominids to climb down from the branches of trees and move on their legs.

Well, according to my hypothesis, while the progressive deforestation and thinning of the southern flora, hominids were no longer able to reach tree branches with their arms outstretched. Consequently, to reach distant branches, they adapted to lifting their legs straining their abdominal muscles, in attempt to reach other branches, flexing entire body.

This concept will be clearly explained in the next drawing:

In "Picture A" we look at a couple of hominids living suspended in trees.They have incredibly developed arm muscles to support their body weight, but their legs are atrophied, and their abdominal muscles are absent.

In "Picture B" we look at the African forest thinning, remaining few trees. To reach the branches, the hominids must lift their body, putting an incredible amount of work on their abdominal muscles.

In the final "Picture C," we look at the forest that disappears and the savannah increase. There are no more trees, so the hominids are forced to descend and assume an upright position. However, the abdominal muscles remains, even if now they are useless, because they are a legacy of the "Picture B" phase.

Il mistero dell'intelligenza

Amici, nella sezione scientifica del blog ci siamo già occupati del genere umano.
In precedenza abbiamo preso in esame una caratteristica, lo sviluppo dei muscoli addominali, che distingue la nostra specie dagli altri mammiferi e dai rettili, che non hanno fasce muscolari come le nostre.
La tipica struttura a "tartaruga" del ventre è un tratto distintivo degli esseri umani e in questo post https://sciencefictionleo.blogspot.com/2018/08/scienza-il-mistero-dei-muscoli.html abbiamo provato a darne la spiegazione.

Ora vorremmo discutere una caratteristica altrettanto interessante, anzi, per molti di voi, lo sarà ancor più. Il genere umano è l'unico intelligente, a quanto pare. Si potrà obiettare che le altre specie viventi hanno un comportamento più intelligente del nostro e che il loro ciclo vitale è regolato da algoritmi più efficienti dei nostri. Questo è sicuramente vero, non solo per le specie viventi, ma anche per quelle non viventi: tutti, dalle particelle nucleari, alle rocce, ai fluidi, sono più bravi di noi nel fare il proprio mestiere.
Indubitabilmente però, il nostro cervello è diverso.
La nostra corteccia cerebrale è molto più sviluppata, e questo ci consente l'espressione linguistica, logica, artistica e la capacità di manipolare l'ambiente che ci circonda, rendendolo artificiale. I filosofi e gli psicologi aggiungono poi la moralità, il senso di responsabilità, la consapevolezza di noi stessi, di Dio, della vita e della morte, e tante altre belle cose che non stiamo qui ad elencarle tutte.

Il problema centrale è capire come si concilia l'intelligenza con la selezione della specie, in quanto si tratta evidentemente di una caratteristica sfavorevole.

Sì, l'intelligenza è sfavorevole alla selezione naturale, perchè più gli organismi sono stupidi e insensibili, più sono adatti a sopravvivere.
I coccodrilli, i ragni e le piante carnivore non ostentano grande sensibilità e intelligenza, proprio per questo esistono da milioni di anni e non accennano ad estinguersi. Noi invece, dopo pochi secoli, ci stiamo già autodistruggendo con le guerre ed il degrado ambientale, senza contare l'irregolarità nel processo di accoppiamento: nella maggior parte dei casi siamo talmente complicati e "choosy" da rimanere single, pur godendo di buona salute. Oltretutto gli esseri intelligenti risultano più fragili e propensi al suicidio.
Adesso quindi, cercheremo di capire come sia possibile che una mutazione genetica sfavorevole, l'intelligenza, si sia diffusa uniformemente in tutto il genere umano.

Ebbene, io ho trovato la seguente spiegazione, che mi sembra l'unica plausibile:

gli esseri intelligenti si sarebbero diffusi maggiormente perchè avrebbero fatto più sesso, cioè si sarebbero accoppiati di più e quindi propagati più velocemente, nonostante la mutazione sfavorevole. Ma perchè chi era intelligente avrebbe fatto più sesso ?

La maggior parte degli animali segue un rituale specifico per l'accoppiamento, che viene portato a termine in una determinata stagione dell'anno, che sia la più compatibile con le circostanze di una futura concezione. Al di fuori del periodo stagionale, l'animale perde interesse e l'accoppiamento non si verifica.
Invece gli esseri intelligenti, poichè dotati di memoria, sin dal principio avrebbero continuato a ricordare la gioia e il piacere provato con le compagne, inoltre, essendo dotati anche di immaginazione e capacità di simulazione, avrebbero cercato continuamente di sedurle per ripetere le medesime circostanze di appagamento, anche fuori dal ciclo stagionale. Il risultato di questo processo è che gli intelligenti avrebbero fatto più figli, accoppiandosi di continuo, mentre i non intelligenti sarebbero stati vincolati alla periodicità del ciclo stagionale, non ricordando il piacere provato, nè sapendo ricrearne le ambientazioni nella fantasia e nella realtà.

Il prossimo disegno spiega bene il concetto espresso.
In "Figura A" vediamo due coppie di ominidi durante la stagione degli amori.
In "Figura B" vediamo che la stagione degli amori è finita.
Il maschio della prima coppia perde interesse per la compagna e torna a raccogliere le bacche dall'albero. Il maschio della seconda coppia invece ha un cervello più sviluppato: nella sua mente rivive gli istanti d'amore con la compagna e cercherà di sedurla anche dopo il ciclo stagionale. Non tutti questi tentativi andranno a buon fine, ma in linea di massima nasceranno più bambini intelligenti che non intelligenti.

Questa spiegazione darebbe risposta anche ad altre domande, per esempio al fatto che noi umani abbiamo i genitali più grandi rispetto a quelli degli altri primati e al fatto che abbiamo perso molte caratteristiche stagionali.
Però una domanda che adesso si pone è per quale motivo l'intelligenza avrebbe attecchito sui primati e non su altre specie, come i felini e gli insetti.
La risposta a quest'ultima domanda consiste nell'osservare che l'accoppiamento, per queste specie menzionate, si avvale di stimoli olfattivi, uditivi e flash luminosi, piuttosto che visivi della luce riflessa. Questi tipi di stimolo risultano sgradevoli al termine della stagione amorosa, pertanto un felino, o un insetto intelligente, che li ricordasse, ne trarrebbe disgusto e non sarebbe incentivato a riaccoppiarsi.

NOTA: molti ricercatori ritengono che l'intelligenza si sia diffusa in quanto costituiva un vantaggio degli uomini primitivi sulle altre specie, consentendo la possibilità di costruire armi e trappole per i cacciatori e di pianificare raccolti e approvvigionamenti per gli agricoltori.

Io non sono d'accordo con questa ipotesi. 

La caccia e l'approvvigionamento sono strategie comuni a tutti gli organismi, a prescindere dalle capacità intellettive. Nello specifico, l'intelligenza è un presupposto per la capacità di coltivare e costruire armi, quindi la sua origine va cercata prima, in una meccanica di tipo sessuale e fisiologico come quella da me illustrata.

NOTA2: una possibile obiezione all'ipotesi avanzata in questo topic è il fatto che una donna può generare solamente una volta all'anno, a prescindere dalla frequenza degli accoppiamenti. Questo è sicuramente vero, però sulla base della nostra ipotesi, gli esseri intelligenti avrebbero anticipato i non intelligenti sia nelle fasi di corteggiamento che di accoppiamento, assicurandosi così la discendenza nel nascituro.

Monografia scientifica 1

Carissimi, molte volte si pensa a ScienceFictionLeo come ad un blog contenente solo fumetti e critiche cinematografiche. Ma si dimentica che in questo blog c'è anche una sezione scientifica, dove vengono postati contenuti originali, che non potete trovare altrove.

Ebbene, sin dall'adolescenza mi è capitato di "scoprire" nuove formule matematiche e scientifiche (il calcolo infinitesimale, le figure a quattro dimensioni) salvo poi rendermi conto che nella maggioranza dei casi queste formule erano state già scoperte da altri, molti secoli prima di me. Alcune di queste idee però sono rimaste inedite e sono quelle che potete trovare nel blog. Ovviamente sono idee rudimentali, appena abbozzate, proprio perchè vedono qui la luce per la prima volta e verranno approfondite in futuro. In questa prima monografia ne riassumiamo quattro:

1) I numeri multivirgola.

In matematica esistono vari sistemi di numerazione, per esempio il binario, l'ottale, il decimale e l'esadecimale. Tutti questi sistemi di numerazione si avvalgono di un insieme di simboli che vengono combinati tra loro per rappresentare i numeri.

Il sistema unario, che si avvale di un unico simbolo, assumiamo "1", non viene mai preso in considerazione, nè utilizzato con finalità scientifiche. E questo non tanto per la sua prolissità (per scrivere cento dobbiamo accodare cento simboli "1"), quanto per il fatto che con esso è impossibile rappresentare numeri decimali, quindi reali, ma solo numeri interi.

Provate infatti a scrivere "1,5" con il sistema unario.

Potremmo scriverlo come "1,11111", ma poi "1,05" come lo scriviamo ?

Come fai a mettere lo zero prima del cinque ?

Potremmo ipotizzare che "1,11111" voglia dire 1 + 1/5 per risolvere il problema, questo ci consentirebbe di rappresentare 1 + 1/1000 aggiungendo mille uni dopo la virgola, ma poi non saremmo in grado di scrivere numeri compresi nell'intervallo tra (1 + 1/2) e 2.

In realtà il problema può essere risolto con una notazione multivirgola.

Cioè con più virgole per la parte decimale 

(con la notazione inglese sarebbe un sistema multipunto)

In pratica: quando dopo la virgola metti due simboli ti sposti a destra, quando metti un solo simbolo ti sposti a sinistra. Di seguito propongo alcuni esempi con il "sistema zero". E' un sistema che utilizza un unico simbolo, come l'unario, con la differenza che parte da zero invece che da uno. Per cui zero si scrive "0" e uno si scrive "00". Prendiamo un segmento compreso tra zero e uno, cioè tra "0" e "00".

0,5 può essere scritto come 0,00 (ti sposti a destra e prendi la metà)

0,75 può essere scritto come 0,00,00 (ti sposti a destra e prendi la metà, poi ancora a destra e prendi un'altra metà)

0,25 può essere scritto come 0,0,00 (ti sposti nella metà di sinistra e poi a destra)

0,125 può essere scritto come 0,0,0,00 (ti sposti nella metà di sinistra, poi ancora nella metà di sinistra, poi a destra)

0,625 può essere scritto come 0,00,0,00 (ti sposti a destra e prendi la metà, poi nella metà di sinistra e quindi a destra)

Di seguito riprendiamo il segmento e ci indichiamo tre epsilon:

"e1" vicino allo zero, "e2" vicino alla metà ed "e3" vicino all'unità, per mostrare che possiamo gestire tutti i numeri reali.

"e1" si scrive come 0,0,0,...e così via...,00

"e2" si scrive come 0,00,0,0,0,...e così via...,00

"e3" si scrive come 0,00,00,00,...e così via

L'argomento dei numeri multivirgola apre nuovi orizzonti per la teoria dei numeri e delle serie numeriche. In dettaglio vedrete anche le sue applicazioni al sistema decimale.

2) L'estensione nello spazio

Alcuni concetti sono estesi nello spazio, e possono essere pensati come figure.

Pensiamo alle persone, agli animali, alle piante, alle automobili, alle case.

Altri concetti non hanno estensione spaziale, non corrispondono a figure e non hanno altezza, larghezza o spessore. Pensiamo al caldo, al freddo, all'amicizia, all'amore, alla paura, ai verbi, e agli stessi concetti di altezza, larghezza e spessore, perchè a loro volta non hanno altezza, larghezza e spessore.

Che differenza c'è ?

In ambito matematico i numeri e le equazioni non hanno estensione spaziale, al contrario delle figure geometriche, come segmenti, triangoli e cerchi.

Qual'è la differenza ?

Nessun matematico è mai riuscito a capirlo.

Pitagora parlava di "numeri triangolari" e "numeri quadrati", ma così non è: perchè i numeri sono numeri e i triangoli e i quadrati sono figure.

Cartesio diceva che l'estensione nello spazio corrisponde alla materia, ma così non è: perchè possiamo immaginare angeli e cherubini, che non sono fatti di atomi, ma di fantasia.

Immanuel Kant sosteneva che l'estensione spaziale fosse una "intuizione a priori" della nostra mente.

Karl Weierstrass dimostrò che i numeri reali e l'analisi matematica possono essere definiti senza ricorrere alla percezione spaziale, la quale si poneva sempre di più come un'incognita.

David Hilbert scrisse che gli assiomi della geometria potrebbero essere qualsiasi cosa, anche sedie e boccali di birra, rimuovendo completamente il problema.

Georg Cantor affermava che esistono insiemi discreti e continui, ma questo non giustifica l'esistenza dei punti e delle rette.

In questo blog trovate per la prima volta la formula dell'estensione nello spazio.

La formula è questa:

x = x1 or x2 or ... or xn

I(x) = I(x1) and I(x2) and ... and I(xn) and I(k)

In pratica si tratta di una coppia di enunciati, esprimibile in logica proposizionale.

Il primo enunciato esprime l'equivalenza tra un elemento ed una serie di parametri disgiunti tra loro. Il secondo enunciato applica la legge di De Morgan sul primo enunciato (sostituzione della disgiunzione con la congiunzione ed introduzione dell'operatore unario) con l'aggiunta di un nuovo parametro "k" non compreso tra quelli disgiunti.

La formula viene spiegata abbastanza dettagliatamente nel blog, in fondo è semplice, ma non ho scritto da nessuna parte come sono pervenuto a questo risultato, perchè si tratta di un procedimento laborioso.

3) La scomparsa dei dinosauri

I dinosauri hanno dominato il nostro pianeta per circa 165 milioni di anni.

Stranamente negli ultimi 65 milioni di anni non c'è più traccia di loro.

Perchè sono scomparsi ?

Dobbiamo per forza credere ad un evento cataclismatico ? Ad un meteorite ?

Che motivo c'è ?

Non potrebbe essere invece che si siano semplicemente evoluti ?

Che abbiano concluso un ciclo evolutivo ? 

Leggete il post.

4) La vita extraterrestre

Nella nostra galassia, la Via Lattea, ci sono circa 600 miliardi di stelle.

E la nostra galassia, a sua volta, fa parte del super-ammasso Laniakea, contenente circa centomila galassie. Possibile che non si trovino tracce di vita extraterrestre ?

Lo scienziato Enrico Fermi si domandava: "dove sono tutti quanti ?"

Teoricamente la nostra civiltà si sarebbe dovuta sviluppare in un contesto intergalattico, così come un bambino si sviluppa nel contesto di una famiglia.

Il silenzio cosmico è strano, spaventoso, sospetto.

Ma forse è proprio la cosmologia a fornirci una risposta.

Il ben noto Principio Antropico darebbe la risposta alla domanda di Enrico Fermi.

In altre parole la vita umana sarebbe incompatibile con l'incontro di una civiltà extraterrestre. Se noi ancora oggi esistiamo e ci poniamo questa domanda, è proprio perchè non abbiamo mai incontrato gli extraterrestri.

Arrivederci alla prossima monografia scientifica !

La Logica dello Spazio

Logica proposizionale

Le operazioni fondamentali della logica proposizionale sono l’affermazione di un concetto, la sua negazione NOT, l’operatore logico inclusivo AND (prodotto logico, detto anche intersezione), l’operatore logico esclusivo OR (somma logica, detta anche unione), l’implicazione logica (x implica y, scritto anche x --> y, che vuol dire: x AND y = x)

Non mi dilungherò in esempi e spiegazioni, dal momento che il lettore ne saprà più di me 

Le negazioni sono insiemi

Iniziamo subito con le novità apportate dal presente documento.

La negazione è un insieme.

Quando scrivo “NOT x”, suppongo qualsiasi cosa tranne “x”, quindi ho già un insieme di oggetti. Esempio: se dico “NOT ragazza”, allora potrebbe essere un ragazzo, o un’automobile, o un triangolo, o un gatto. Quindi ho generato un insieme di oggetti.

I raggruppamenti

Adesso vedremo che le leggi della complementarità di Augustus de Morgan si applicano anche agli insiemi, oltre che alle negazioni. Le negazioni sono un caso particolare di insieme, cioè un insieme molto grande, che contiene tutto tranne l’oggetto che viene negato. 

Ma più in generale queste leggi regolano il comportamento degli insiemi

Gli insiemi generati da queste operazioni verranno chiamati “raggruppamenti”, per non confonderli con la teoria di Georg Cantor. 

Scriviamo quindi le leggi dei raggruppamenti, sulla base delle leggi di Augustus de Morgan.

Assumiamo convenzionalmente che se x è un concetto, allora N(x) è il raggruppamento di quel concetto. Esempio: N(uomo) sarà il raggruppamento di tutti gli uomini.

Vediamo esempi concreti di queste leggi.

Esempio 1:

umano  = uomo OR donna

N(umano) = N(uomo) AND N(donna)

Un essere umano è sempre un uomo oppure una donna.

Quindi l’insieme di tutti gli esseri umani sarà dato dall’insieme di tutti gli uomini più l’insieme di tutte le donne, sostituendo l’operatore esclusivo OR con l’operatore inclusivo AND. In altre parole, il raggruppamento di tutti gli esseri umani deve raggruppare sia gli uomini che le donne.

Esempio 2:

Marco Aurelio = filosofo AND imperatore

N(Marco Aurelio) = N(filosofo) OR N(imperatore)

Marco Aurelio era sia filosofo che imperatore.

Quindi l’insieme costituito dal solo Marco Aurelio si trova indifferentemente all’interno dell’insieme di tutti i filosofi, oppure all’interno dell’insieme di tutti gli imperatori, perché entrambi lo contengono. Sostituendo l’operatore inclusivo AND con l’operatore esclusivo OR. In altre parole, se raggruppiamo tutti i filosofi, oppure tutti gli imperatori, in entrambi i casi ci troviamo Marco Aurelio dentro.

Esempio 3:

triangolo --> figura geometrica

N(figura geometrica) --> N(triangolo)

I triangoli sono figure geometriche, cioè l'esistenza di un triangolo implica l'esistenza di una figura geometrica. Al contrario, l'insieme di tutte le figure geometriche implica l'insieme di tutti i triangoli, perchè questi ultimi ne sono una quota parte. In altre parole, se raggruppiamo tutte le figure geometriche, dentro ci saranno pure i triangoli.

Più in generale, un insieme I={a,b,c,d} andrebbe riscritto come:

x = a or b or c or d

I = N(x) = N(a) and N(b) and N(c) and N(d)

dove "x" corrisponde all'elemento generico dell'insieme.

Si noti che anche nel caso in cui i raggruppamenti abbiano “cardinalità uno”, per esempio il raggruppamento dell’indice della mano destra, vanno sempre incapsulati nella funzione N(x), altrimenti si otterrebbe l’insieme vuoto, perché gli elementi di un insieme sono tutti esclusivi tra loro, cioè:

x = a or b or c or d

insieme vuoto = a and b and c and d

Esempio:

dito della mano destra = pollice or indice or medio or anulare or mignolo

insieme vuoto = pollice and indice and medio and anulare and mignolo

Infatti un dito non può essere contemporaneamente pollice, indice, medio, anulare e mignolo.

Quindi, anche in caso di cardinalità uno, dobbiamo per forza scrivere:

N(dito della mano destra) = N(pollice) and N(indice) and N(medio) and N(anulare) and N(mignolo)

In base a questa teoria è evidente che ogni oggetto dei nostri pensieri può essere immaginato in maniera duale, cioè come una serie di elementi disgiunti tra loro, in somma logica, che costituiscono il concetto, oppure congiunti, in un prodotto logico, che costituiscono il raggruppamento del concetto. 

Per esempio, un singolo giorno della settimana può essere pensato come il lunedì, oppure il martedì, fino ad arrivare alla domenica. 

G = LU or MA or ME or GI or VE or SA or DO

Dopodiché possiamo pensare la settimana, cioè l’insieme di quei giorni, come il raggruppamento degli stessi elementi, sostituendo l’operatore “or” con “and”:

S = N(G) = N(LU) and N(MA) and N(ME) and N(GI) and N(VE) and N(SA) and N(DO)

Un aspetto interessante di questa teoria è che, considerando gli insiemi come raggruppamenti, scompare il paradosso di Bertrand Russell, senza ricorrere ad artifici, perché un raggruppamento contiene sempre se stesso: N(x) = N(x) and N(x).

Le figure estese nello spazio

D’ora in poi utilizzerò i termini “corpo” e “corporeità”.

Quando utilizzerò questi termini, mi riferirò sempre al senso letterale della parola, cioè a oggetti materiali, estesi nello spazio, dotati di altezza, larghezza o spessore, ma non ai corpi algebrici. Pertanto consideriamo corporee le figure geometriche, come punti, segmenti, cerchi e triangoli, ma anche oggetti materiali come animali, piante e persone. Al contrario consideriamo incorporei numeri ed espressioni matematiche, ma più in generale sentimenti, emozioni, concetti e verbi, che non hanno altezza, larghezza o spessore. 

Ebbene, l’aspetto più importante dei raggruppamenti, di cui vorrei discutere in questo documento, è che consentono di distinguere un oggetto corporeo da un oggetto incorporeo. 

Vediamolo in dettaglio. 

Quando nel prodotto logico appare un elemento in più, estraneo agli elementi in somma logica, automaticamente si ottiene un oggetto corporeo. Per esempio la seguente espressione identifica un oggetto corporeo:

x = x1 or x2 or x3 or … or xj

N(x) = N(x1) and N(x2) and N(x3) and … and N(xj) and {N(k)}

La parte {N(k)} è stata inserita tra parentesi graffe per evidenziare che l’elemento k non si trova tra quelli in somma logica. La parte {N(k)} verrà chiamata “parte estranea/complessiva” perché si tratta di un oggetto estraneo a quelli in somma logica, che acquisisce un significato solo complessivamente nel prodotto logico.

Vediamo un esempio concreto. 

La prossima figura rappresenta un quadrato.

Il singolo elemento che compone il quadrato corrisponde a uno dei quattro triangoli Tj, cioè:

T = T1 or T2 or T3 or T4

Complessivamente, il quadrato corrisponde alla seguente proposizione:

Quadrato = N(T) = N(T1) and N(T2) and N(T3) and N(T4) and {N(K)}

Non basta infatti scrivere che il quadrato corrisponde al raggruppamento di tutti i triangoli Tj, ma occorre aggiungere un elemento {N(K)} che lo caratterizza complessivamente, e che nello specifico potrebbe indicare: “ha tutti i lati uguali”, altrimenti la figura non sarebbe un quadrato. 

In altre parole, {N(K)}  deve specificare il modo in cui i triangoli sono raggruppati.

Quindi {N(K)} è una proprietà di N(T), esattamente come i singoli N(Tj).

Se invece di scrivere {N(K)}="ha tutti i lati uguali", avessimo scritto {N(K)}="ha i triangoli uno sotto l'altro", oppure {N(K)}="ha i triangoli uno accanto all'altro", avremmo ancora ottenuto oggetti corporei estesi nello spazio, come si deduce dalla prossima immagine. È solamente la mancanza dell'elemento {N(K)} che rende l'oggetto incorporeo, riducendolo a una lista astratta di triangoli, senza estensione spaziale.

Si noti che anche se volessimo disintegrare il quadrato della figura precedente, continueremmo ad ottenere oggetti corporei estesi nello spazio. In questo caso li scriveremmo come:

x = x1 or x2 or x3 or … or xj

Corpo = N(x1) and N(x2) and N(x3) and … and N(xj) and {N(k)}

Dove gli xj sono i pezzi sparpagliati ed {N(k)} sta a significare che quei pezzi saranno equidistanti da un punto specifico sul piano, oppure equidistanti fra loro, oppure semplicemente giacenti sul piano. 

Solo nel caso di un insieme astratto e incorporeo avremmo {x1, x2, x3,…, xj} che corrisponde a N(x1) and N(x2) and N(x3) and … and N(xj) 

senza la parte estranea/complessiva {N(k)}

Di seguito vedremo che {N(k)} è necessario e sufficiente per distinguere il corporeo dall’incorporeo. Vedremo cioè che qualsiasi oggetto corporeo, esteso nello spazio, contiene {N(k)} nel prodotto logico, mentre qualsiasi oggetto incorporeo non lo contiene.

Corporeità delle coniche

Le coniche sono luoghi di punti che obbediscono a una proprietà estranea/complessiva ai punti stessi. In altre parole una conica può essere scritta come di seguito:

p = p1 or p2 or… or pn

Conica = N(p) = N(p1) and N(p2) and… and N(pn) and {N(k)}

Dove p è il punto generico e {N(k)} è la proprietà estranea/complessiva che esula dai singoli punti “pj” e che vorrà dire equidistanza da un punto centrale, da una retta, o equivalenza della somma delle distanze dai fuochi, in modo da ottenere complessivamente cerchi, ellissi, parabole e iperboli. 

Corporeità della Geometria Analitica

In base ai principi della geometria analitica, un’espressione matematica, come ”y = x”, corrisponde, come per magia, a una struttura corporea estesa nello spazio, per esempio una retta, una conica, o qualsiasi altra figura. Come è possibile questa associazione ?

Adesso vedremo come sia possibile spiegare la corporeità degli assi cartesiani e dei punti sul piano.

Spieghiamo prima la corporeità degli assi x ed y.

Scriviamo il seguente raggruppamento di numeri reali:

N(r) = N(x1) and N(x2) and … and N(xj)

Se questo raggruppamento fosse in ordine crescente, dovremmo aggiungere questa condizione nel prodotto logico, cioè: 

r = x1 or x2 or … or xj

N(r) = N(x1) and N(x2) and … and N(xj) and {N(k)} 

con {N(k)}=”ordine crescente”

Da ciò scaturisce che qualsiasi serie di numeri in ordine crescente è corporea ed estesa nello spazio, per via della presenza dell’elemento {N(k)} che esula dai singoli numeri, e questo spiega la corporeità degli assi cartesiani, che corrispondono a rette, cioè a figure geometriche.

Si noti che anche nel caso di numeri interi avremmo avuto lo stesso risultato, perché l’ordine crescente comporta sempre un criterio da sinistra verso destra, oppure dal basso verso l’alto, che sono tutti concetti inerenti l’estensione nello spazio (e questo spiega anche la possibilità di costruire termometri e orologi con tacche di numeri interi).

Di seguito spieghiamo la corporeità dei punti sul piano cartesiano.

Scriviamo il seguente raggruppamento di due numeri reali:

N(r) = N(x0) and N(y0)

Se questo raggruppamento dovesse corrispondere a una coppia di coordinate sul piano cartesiano, cioè Punto=(x0,y0), allora sarebbe necessario aggiungere questa caratteristica come elemento {N(k)} nel prodotto logico, perché altrimenti x0 ed y0, che sono solamente numeri reali, non implicano che si tratti di coordinate. Quindi dovremmo scrivere: 

r = x0 or y0

Punto = N(r) = N(x0) and N(y0) and {N(k)}, dove {N(k)}=”coordinate sul piano”.

Da ciò scaturisce che tutti i punti sul piano cartesiano sono corporei, per via della presenza dell’elemento {N(k)} che esula dai singoli numeri. Di conseguenza tutte le figure costituite da punti sul piano sono corporee.

Incorporeità delle funzioni

Invece, a quanto pare, sembra che la proprietà F che identifica la funzione non la renda corporea. Infatti possiamo stabilire una funzione che collega ogni singolo numero x a un altro numero y, ciononostante l’insieme ottenuto rimane incorporeo.

Questo concetto può essere espresso tramite le seguenti due espressioni:

xFy = (x0Fy0) or (x1Fy1) or… or (xnFyn)

N(xFy) = N(x0Fy0) and N(x1Fy1) and… and N(xnFyn)

La prima espressione definisce l’associazione generica tra due numeri x e y tramite la funzione F. La seconda espressione definisce il raggruppamento di tutte le associazioni precedenti, dove si vede chiaramente che è incorporeo, perché non c’è una parte estranea/complessiva {N(k)} che esula dalla definizione delle singole associazioni xFy che abbiamo generato. Questo concetto trova un immediato riscontro nella realtà: per esempio l’insieme delle patate è incorporeo, anche se le patate, prese singolarmente, sono corporee. Infatti un insieme di patate non ha altezza, larghezza o spessore, anche se le singole patate lo hanno. Se proviamo a stabilire una funzione tra le patate, che associa a ognuna di esse un’altra che ha la stessa forma, l’insieme finale che ne risulta continua a essere incorporeo.

Differenza tra l’umanità e l’uomo

Con i prossimi esempi vedremo che la parte estranea/complessiva consente di distinguere gli oggetti corporei dagli incorporei nella vita di tutti i giorni, non solo in matematica.

Di seguito discutiamo la differenza tra l’umanità, che è incorporea, e l’uomo, che è corporeo.

L’umanità non ha altezza, larghezza o spessore, ma è un concetto incorporeo che può riferirsi a una serie di caratteristiche, come pensare, lavorare, fare del bene e via dicendo. Di seguito vediamo due espressioni, dove nella prima viene descritto un singolo esempio di umanità come somma logica di diverse opzioni, e nella seconda viene descritta complessivamente come il raggruppamento di tutti questi esempi in un prodotto logico. Si noti che non appare alcun elemento {N(k)} estraneo ai singoli esempi:

Esempio = pensare or lavorare or fare del bene

Umanità = N(esempio) = N(pensare) and N(lavorare) and N(fare del bene).

Al contrario l’uomo è corporeo, perché dotato di altezza, larghezza e spessore. Di conseguenza vediamo due espressioni, dove nella prima viene descritto un atomo generico che lo compone, e nella seconda viene descritto il raggruppamento di tutti questi atomi più un elemento {N(k)} che ne caratterizza la forma complessiva, oppure ne descrive la capacità di pensare, lavorare e fare del bene, altrimenti non sarebbe un uomo, ma una lista astratta di atomi:

Atomo = A1 or A2 or… or An

Uomo = N(Atomo) = N(A1) and N(A2) and… and N(An) and {N(k)}

Di seguito descriviamo la differenza tra il tramonto, che è incorporeo, e l’atmosfera, che è corporea. Il tramonto non ha altezza, larghezza o spessore, ma è un concetto incorporeo che può riferirsi a una serie di caratteristiche, come un bel panorama, il Sole che tramonta, l’imbrunire e le rondini. Di seguito vediamo due espressioni, dove nella prima viene descritta una caratteristica generica del tramonto come una somma logica, e nella seconda viene descritto il tramonto come il raggruppamento in un prodotto logico.  Si noti che non appare alcun elemento {N(k)} estraneo alle singole caratteristiche:

caratteristica = bel panorama or Sole che tramonta or imbrunire or rondini

Tramonto = N(caratteristica) = N(bel panorama) and N(Sole che tramonta) and N(imbrunire) and N(rondini)

Al contrario l’atmosfera è corporea, perché dotata di altezza, larghezza e spessore. Di conseguenza vediamo due espressioni, dove nella prima vengono descritti gli elementi che la compongono, e nella seconda viene descritto il raggruppamento di tutti questi elementi più una parte {N(k)} che ne caratterizza la forma sferica e la disposizione complessiva:

 

Elemento = aria or nuvola or rondine

Atmosfera = N(Elemento) = N(aria) and N(nuvola) and N(rondine) and {N(k)} 

Astratto e concreto

Attenzione perché la differenza tra incorporeo e corporeo non c’entra niente con la differenza tra astratto e concreto. Per esempio il triangolo è un concetto astratto, eppure è corporeo, perché ha una forma spaziale. Al contrario un incontro di boxe è concreto, come può testimoniare qualsiasi pugile che prende pugni, eppure è incorporeo, perché non ha una forma spaziale. 

I concetti concreti sono quelli che implicano gli altri concetti, senza a loro volta essere implicati da altri. Nei diagrammi di Venn i concetti concreti corrispondono a punti e gli astratti a cerchi. 

Per esempio Socrate è concreto, mentre il filosofo è astratto: 

Socrate --> filosofo

La distinzione tra astratto e concreto non è rigida, perché ogni oggetto può essere astratto o concreto a seconda dei casi: per esempio una pietra può sembrare concreta, ma posso riferirmi a una pietra in senso astratto; allo stesso modo il concetto di fare il bene può sembrare astratto, ma posso trasporlo in una lunga serie di atti concreti.

La parte estranea/complessiva {N(k)} è necessaria e sufficiente

Finora abbiamo visto che la parte estranea/complessiva è necessaria per costituire un raggruppamento corporeo, esteso nello spazio. Adesso vedremo che è anche sufficiente, perché nessun raggruppamento incorporeo la possiede. I raggruppamenti incorporei hanno sicuramente una proprietà complessiva, ma questa proprietà si deduce già dai singoli componenti, oppure dalla loro aggregazione, senza aggiungere {N(k)} in coda. 

Vediamolo con alcuni esempi.

Un insieme di numeri multipli di 4 è incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, e infatti non ha bisogno di {N(k)}, perché la sua proprietà si deduce già osservando i singoli componenti, come possiamo notare di seguito:

N(4) and N(8) and N(16)

Un insieme di numeri primi tra loro è incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, e infatti non ha bisogno di {N(K)}, perché la sua proprietà si deduce già dalla loro aggregazione, anche se non dai singoli elementi, come possiamo notare di seguito:

N(3) and N(5) and N(17)

Un insieme di numeri metà pari e metà dispari , è incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, e infatti non ha bisogno di {N(k)}, perché la sua proprietà si deduce osservando i suoi elementi, come possiamo notare di seguito:

N(4) and N(3) and N(17) and N(18)

Un pensiero è incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, e infatti non ha bisogno di {N(k)}, perché il suo significato complessivo si comprende già dal raggruppamento dei singoli elementi, come possiamo notare di seguito:

N(“dopo secoli”) and N(“la logica”) and N(“progredisce”)

Una società è un concetto incorporeo, non ha altezza, larghezza o spessore, però presuppone un insieme corporeo di persone, separate nello spazio. Infatti una stessa persona che assume ruoli diversi oppure singole persone in tempi diversi non potrebbero mai costituire una società. Quindi occorre aggiungere un elemento {N(k)} che indichi la distanza fisica tra una persona e l’altra, cioè un’estensione nello spazio:

N(impiegato) and N(infermiere) and N(tecnico) and… and {N(k)}

Il teorema dell’estensione nello spazio

Un oggetto corporeo contiene sempre nel suo interno un altro oggetto corporeo.

Dimostrazione.

Supponiamo un oggetto corporeo N(x), cioè esteso nello spazio, per cui:

x =  x1 or x2 or x3 or x4

e

N(x) = N(x1) and N(x2) and N(x3) and N(x4) and {N(k)}

Supponiamo che {N(k)} sia incorporeo e che quindi non contenga elementi estranei/complessivi nel prodotto logico, cioè:

k = k1 or k2 or k3 or k4

da cui

N(k) = N(k1) and N(k2) and N(k3) and N(k4)

In tal caso potremmo riscrivere il primo oggetto come di seguito:

x = x1 or x2 or x3 or x4 or k1 or k2 or k3 or k4

e

N(x) = N(x1) and N(x2) and N(x3) and N(x4) and N(k1) and N(k2) and N(k3) and N(k4)

Ma allora anche N(x) sarebbe incorporeo, perché non conterrebbe elementi estranei/complessivi nel prodotto logico, contro l’ipotesi iniziale.

È necessario quindi che se N(x) è corporeo, lo sia anche la parte {N(k)}  estranea/complessiva contenuta al suo interno.

COROLLARIO:

Questo teorema può essere applicato ricorsivamente, pertanto se un oggetto  corporeo ne deve contenere almeno un altro nel proprio interno, si deduce che quest'ultimo, essendo a sua volta corporeo, ne conterrà ancora un altro nel proprio interno, e così via, per cui l’estensione nello spazio è divisibile all’infinito. Questo vuol dire che ogni oggetto corporeo può essere diviso in altri corpi più piccoli, anche se la proprietà estranea/complessiva di questi ultimi assumerà un significato diverso (per esempio i frammenti di un quadrato non avranno necessariamente i lati uguali).

Diagrammi tridimensionali di Venn

I concetti e i loro raggruppamenti possono essere raffigurati in un unico diagramma tridimensionale di Venn, dove le due proiezioni ortogonali corrispondono separatamente ai concetti e ai raggruppamenti di una stessa idea. In una proiezione ortogonale i componenti sono vicendevolmente esclusivi e la loro intersezione restituisce l'insieme vuoto. Nell’altra proiezione ortogonale i componenti si intersecano tra loro. Nella prossima immagine vediamo il lancio di una moneta: il singolo lancio può dare testa o croce, e una delle due opzioni esclude l'altra, però il raggruppamento dei lanci che danno testa e di quelli che danno croce non si escludono, ma si intersecano per restituire il raggruppamento complessivo di tutti i lanci.

Di seguito vediamo il diagramma tridimensionale di un oggetto corporeo, esteso nello spazio. La parte estranea complessiva è presente solo nella proiezione del raggruppamento, pertanto appare come un chiodo, che passa all’interno dei parallelepipedi per tenerli uniti in una giunzione.

La logica dei predicati deriva dalla logica proposizionale

L’associazione di una proprietà F a un oggetto x, cioè “Fx” si può ricondurre ad un prodotto logico tra un oggetto incorporeo F e un oggetto corporeo x.

Per esempio “l’uomo è felice” può essere scritto come “Fu”, ma anche come:

F and u

Dove F è incorporeo ed u è corporeo, cioè:

F = N(y1) and N(y2) and … and N(yj)

u = N(x1) and N(x2) and … and N(xj) and {N(k)}

Dopodichè anche la Teoria degli Insiemi si può ridurre ad una teoria dei raggruppamenti.

Prospettive per l’Intelligenza Artificiale

Attualmente l’intelligenza artificiale non prevede che una macchina possa comprendere concetti, o capire la differenza tra oggetti materiali e sentimenti.

Una frase come “la ragazza è bella” può essere compresa solamente tramite procedimenti euristici.

In parole povere, attualmente le macchine imitano solamente la mente umana.

Al contrario, una proposizione come “2 + 1 = 3” viene calcolata senza ricorrere a procedimenti euristici e proprio per questo i calcolatori sono più efficienti dell’intelligenza artificiale.

Una volta assimilata la differenza tra corporeo e incorporeo, la macchina sarebbe in grado di calcolare anche espressioni come “la ragazza è bella”, oppure “il triangolo è scaleno” senza ricorrere a procedimenti euristici, quindi sarebbe in grado di pensare in autonomia, con un certo grado di consapevolezza.