Numeri multivirgola: Parte 1 - I Sistemi di Numerazione

Chiunque abbia dimestichezza con le basi della matematica sa che il sistema di numerazione decimale da noi utilizzato è solo uno degli infiniti possibili.

Il nostro sistema di numerazione viene chiamato "decimale" perchè si basa sull'utilizzo dei seguenti dieci simboli:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Qualsiasi numero si voglia scrivere, come ad esempio 89, oppure 237765973, risulta sempre da una combinazione di quei dieci simboli precedentemente elencati, messi in vario modo.

Altri sistemi di numerazione molto diffusi sono il binario, così chiamato perchè utilizza solo i seguenti due simboli:

0 1

Oppure l'esadecimale, che utilizza ben sedici simboli:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Di seguito un'immagine che visualizza i primi venti numeri codificati rispettivamente nei sistemi decimale, binario ed esadecimale.

Il sistema binario e l'esadecimale vengono utilizzati dai computer per eseguire varie operazioni, che poi sullo schermo noi vediamo ricodificate nel nostro consueto sistema decimale.

E' facile intuire che in un sistema di numerazione con pochi simboli, un numero si scrive necessariamente in maniera più lunga e prolissa, mentre con più simboli a disposizione, il numero può essere scritto in forma più compatta.

Ad esempio:

il nostro 230 decimale in binario si scrive con il prolisso 11100110, mentre in esadecimale si scrive con il compatto E6.

Lo stesso ragionamento si può fare con il linguaggio parlato:

quando una lingua ha pochi vocaboli a disposizione, come ad esempio una lingua primitiva, allora bisogna utilizzare molti giri di parole per esprimerci e farci capire dall'ascoltatore, al contrario quando una lingua ha a disposizione un vocabolario esteso e ricco di termini, come ad esempio l'inglese, il tedesco o l'italiano, allora bastano meno parole per esprimersi, perchè ad ogni concetto corrisponde un termine adatto e specifico.

Tornando ai sistemi di numerazione, se per assurdo esistesse un sistema di numerazione "infinitario", cioè con infiniti simboli a disposizione, allora ogni numero potrebbe essere rappresentato con un unico simbolo specifico, così come ogni punto della retta geometrica sarebbe identificabile da un unico simbolo specifico.

Nell'ipotetico sistema "infinitario" non ci sarebbero numeri con più di una cifra, perchè qualsiasi grande numero come 465777235299363826 verrebbe rappresentato con un unico "pupazzetto" come 

 

Non ci sarebbe differenza tra numeri interi e frazionari, ma tutti i numeri, anche quelli infinitesimi o periodici come 0,0000000000034726 oppure 0,(3) verrebbero rappresentati da altrettanti "pupazzetti" tipo: 

oppure   

Però, nonostante tutto, questo sistema infinitario manterrebbe la consueta distinzione tra numeri razionali e irrazionali, perchè l'incommensurabilità tra numeri non dipende dal sistema di numerazione. Quando un numero risulta irrazionale in un sistema di numerazione, lo è anche in tutti gli altri, compreso l'infinitario.

L'algebra che noi studiamo a scuola potrebbe essere pensata come un sistema "pseudo-infinitario", perchè in molti casi utilizziamo un unico simbolo come 

oppure la "e" di Eulero per rappresentare numeri che altrimenti avrebbero infinite cifre.