Cari amici, sapete che la maggior parte dei diagrammi di Venn che si studiano a scuola sono sbagliati ? Prendete per esempio i seguenti due: sono diagrammi sugli insiemi numerici presenti su Wikipedia. Ebbene, sono sbagliati, e mettiamoci subito una bella croce sopra!
Dov'è l'errore ?
Non è forse vero che i numeri interi fanno parte dei razionali ? Non è forse vero che i numeri razionali sono anche reali ? Sì, tutte queste cose sono vere, ciononostante i diagrammi sono sbagliati. I principi alla base dei Diagrammi di Venn sono i seguenti:
- l'operatore AND corrisponde all'intersezione dei cerchi
- l'operatore OR corrisponde all'unione dei cerchi
- l'operatore di implicazione corrisponde ad un cerchio dentro l'altro
Se un numero è intero, allora è anche razionale. E se è razionale, allora è anche reale, su questo non c'è alcun dubbio, per cui è sicuramente valido il diagramma sottostante.
Però il discorso si ribalta completamente quando si parla di insiemi. Se ho l'insieme dei numeri razionali, allora ho anche l'insieme dei numeri interi, perché ne sono una quota parte. Se ho l'insieme dei numeri reali, allora ho anche l'insieme dei numeri razionali, perché ne sono una quota parte. Come potete notare, quando si ha a che fare con insiemi, invece che con singoli elementi, allora accade che l'implicazione logica è capovolta. Un insieme di singoli elementi "X" si comporta esattamente come l'operatore "NOT X", cioè capovolge i rapporti di intersezione, unione e implicazione. Quindi il Diagramma di Venn corretto degli insiemi numerici è il seguente:
Ora alcuni di voi porranno la seguente domanda: e l'Insieme Universo dove lo mettiamo ?
Ebbene, nei diagrammi dei singoli elementi, cioè dei concetti, l'Insieme Universo non esiste. Infatti lo sfondo dei cerchi sarà ancora un singolo elemento, ma il più generico che si possa immaginare: cioè IL POSSIBILE. Perché qualsiasi elemento non contraddittorio implica la possibilità.
Invece nei diagrammi degli insiemi, cioè dei raggruppamenti, l'insieme Universo esiste eccome, ed è il Raggruppamento del Possibile. Seguendo la logica del capovolgimento, se il POSSIBILE corrisponde al cerchio più grande che si possa immaginare, allora il RAGGRUPPAMENTO DEL POSSIBILE corrisponderà al cerchio più piccolo che si possa immaginare, cioè ad un semplice PUNTO al centro del Diagramma di Venn. La prossima immagine lo mette in evidenza:
Ora sorge un'ultima domanda:
possiamo inserire i singoli elementi e i loro insiemi in un unico diagramma ? Che all'occorrenza conterrà sia il Possibile che l'Insieme Universo (Raggruppamento del Possibile) ? La risposta è sì: e sono i diagrammi concetto/raggruppamento. In questi diagrammi il concetto più generale corrisponde al cerchio principale che include tutti gli altri, mentre il suo raggruppamento corrisponde ad un punto centrale che viene incluso da tutti gli altri. Occorre trovare i “cerchi di switch” che consentono di passare dai concetti ai raggruppamenti, e questi cerchi corrispondono generalmente agli oggetti singoli, come un singolo numero, il cui raggruppamento è costituito da un unico elemento, per cui “X = N(X)”.
Adesso spiegherò come si costruiscono questi diagrammi, perché c'è una tecnica ben precisa, dopodiché illustrerò alcuni esempi.
Tecnica:
1) lavorare sempre all’interno di un unico cerchio grande dei concetti, che deve includere tutti gli altri.
E se non c'è questo concetto, allora dovete inserire il cerchio del POSSIBILE.
2) disegnare il Diagramma di Venn dei concetti
3) scrivere uno schema gerarchico dei concetti che va dal cerchio più grande "C1" ai cerchi più piccoli contenuti in esso, per esempio:
C1:C2:C3
C1:C2:C4
C1:C5
3) disegnare i raggruppamenti considerando che il primo elemento nello schema precedente, "C1", deve corrispondere al punto centrale incluso in tutti gli altri, "I(C1)", dopodiché inserire via via le parti più esterne fino ai cerchi di switch, che nell'esempio saranno:
C3 = I(C3)
C4 = I(C4)
C5 = I(C5)
4) una volta arrivati ai cerchi di switch, proseguire con i cerchi dei concetti.
Nel prossimo esempio vediamo un diagramma concetto/raggruppamento dei numeri reali, dove i cerchi di switch sono i numeri cinque e radice di due.
Nel prossimo esempio abbiamo: M = mortale, I = imperatore, F = filosofo, A = Marco Aurelio, S = Socrate.
Si noti che Marco Aurelio corrisponde all’intersezione tra i filosofi e gli imperatori, cioè “A = F and I”, perché era sia filosofo che imperatore. Mentre l'insieme costituito dal solo Marco Aurelio, cioè "N(A)", corrisponde all’unione dell'insieme dei filosofi e degli imperatori, cioè: “N(A) = N(F) or N(I)”. Infatti, se raggruppi i filosofi, oppure gli imperatori, in entrambi i casi Marco Aurelio lo ritrovi dentro.
Soddisfatti ora ?
Avete capito ?
Dovete solo fare un po' di pratica !
Ammirate la bellezza del Cosmo !
Perché i "cerchi di switch" sono come gocce d'acqua, che riflettono l'Infinito che li circonda. Nel prossimo topic vedremo il diagramma concetto/raggruppamento di un Cerchio Euclideo. Perchè in base alla Teoria dell'Estensione nello Spazio qualsiasi oggetto spaziale (un cerchio, un quadrato, un bicchiere, una pianta) può trasformarsi in diagramma.
