Paradosso logico N.2 - omogeneità degli insiemi

La nostra mente ci consente di immaginare insiemi di concetti.

Per esempio possiamo immaginare un insieme di colori, di numeri, di animali,

oppure l'insieme dei sessi.

Insieme di colori = {rosso, giallo, blu, verde}

Insieme di numeri = {1, 2, 3, 4}

Insieme di animali = {cane, gatto, elefante, rondine}

Insieme dei sessi = {maschio, femmina}

Immaginare un insieme sembra molto semplice, banale, ma non lo è affatto.

Dietro l'angolo si nasconde un'insidia. Proviamo infatti a scrivere questi altri due insiemi:

I1 = {rosso, gatto, 2, elefante, 3}

I2 = {gatto, maschio}

Cos'è successo ?

Ma niente, ci siamo semplicemente limitati a prelevare alcuni elementi qua e là 

e a ricombinarli per costituire due nuovi insiemi I1 e I2.

Eppure questi due nuovi insiemi ci appaiono strani, dissonanti e illogici.

La nostra mente non riesce ad assegnare alcun senso ad essi.

Non abbiamo fatto altro che mescolare colori, numeri, animali e sessi.

Nella vita quotidiana mischiamo ogni giorno le pere con le mele,

ma con gli insiemi sembra che non si possa fare, altrimenti risultano irragionevoli ed assurdi.

Come mai non possiamo combinare concetti diversi ?

Il motivo potrebbe essere psicologico ? Culturale ?

No. La spiegazione è logico-matematica e risiede nella struttura degli insiemi.

Le operazioni fondamentali della logica sono la disgiunzione, cioè la somma logica, e la congiunzione, cioè il prodotto logico.

Quando un insieme è corretto, la disgiunzione dei suoi elementi deve restituire il suo elemento generico, mentre la congiunzione deve restituire l'insieme vuoto. Per esempio:

Insieme di animali.

cane or gatto or elefante or rondine = animale generico

cane and gatto and elefante and rondine = insieme vuoto

Questo perchè gli elementi dell'insieme corretto sono alternativi tra loro.

Ogni elemento esclude l'altro, per cui la loro intersezione, cioè la congiunzione, deve restituire l'insieme vuoto. 

Un animale non può essere contemporaneamente gatto e cane,

pertanto la congiunzione di questi due elementi restituisce l'insieme vuoto.

E' così anche per l'insieme dei numeri, dei colori e dei sessi.

Un numero non può essere contemporaneamente 1 e 3 (religione a parte).

Un colore non può essere contemporaneamente rosso e blu.

Un sesso non può essere contemporaneamente maschio e femmina.

Ogni elemento di un insieme corretto esclude i compagni.

Vediamo adesso cosa succede con gli insiemi strani I1 ed I2.

I1.

rosso or gatto or 2 or elefante or 3 = elemento generico di I1

rosso and gatto and 2 = "2 gatti rossi"

I2.

gatto or maschio = elemento generico di I2

gatto and maschio = "gatto maschio"

Come potete notare dalle espressioni precedenti, la congiunzione tra alcuni elementi degli insiemi I1 ed I2 non restituisce l'insieme vuoto, ma restituisce "2 gatti rossi" ed un "gatto maschio". Quindi gli insiemi I1 e I2 sono sbagliati proprio perchè i loro elementi non sono esclusivi tra loro, ma si intersecano per restituire concetti nuovi.

Nella prossima immagine, vediamo la raffigurazione tramite i diagrammi di Venn.

Gli elementi degli insiemi corretti sono come le fette di una torta,

sono simili tra loro ma non comunicano, restano separati gli uni dagli altri.

Al contrario gli elementi degli insiemi non corretti si intersecano per restituire concetti nuovi.

Un altro insieme che appare strano è il seguente:

I3 = {Socrate, filosofo, mortale}

Questo insieme è inconcepibile per lo stesso motivo:

i suoi elementi sono parte di un sillogismo, uno implica l'altro,

per cui la loro congiunzione non restituisce l'insieme vuoto.

I3.

Socrate or filosofo or mortale = mortale

Socrate and filosofo and mortale = Socrate

Il paradosso logico a cui si accenna nel titolo del topic è proprio questo:

più i concetti sono distinti e separati tra loro, escludendosi a vicenda,

più la nostra mente li unifica in un unico concetto e li raggruppa in un insieme.

Al contrario, quando i concetti si intersecano logicamente tra loro, avendo punti in comune, allora non possono essere raggruppati correttamente in un insieme. 

E' una legge fondamentale della logica, per quanto paradossale.