Paradosso logico N1

Ragazzi, riprendiamo la sezione "scienza di Leo" discutendo questa volta di un argomento di logica.

La logica sembra la scienza dell'ovvio e della banalità, ma non è affatto così, perchè alcuni dei suoi risultati sono curiosi e sconcertanti, in completa antitesi con il senso comune e la percezione odinaria della realtà.

E' famoso, sin dai tempi del medioevo, il noto paradosso, per cui se la proposizione q è vera, allora c'è sicuramente la proposizione p che implica la proposizione q.

Non è facile correlare le due cose, ma si può dimostrare con alcuni passaggi che effettivamente è così.

In questo topic parleremo invece di un nuovo paradosso.

Nuovo relativamente, perchè la logica è eterna, ma forse nessuno si era mai soffermato a parlarne.

Ebbene, il paradosso è questo:

il fatto che A e B siano veri, non implica che "A e B" sia vero.

Proprio così ! Per quanto strano possa sembrare.

L'operatore "and" unisce due proposizioni e restituisce complessivamente il vero solo se lo sono entrambe, eppure non c'è nessun ragionamento, nessuna implicazione logica, che ci conduca a questo risultato.

L'operatore "or" invece è più fortunato.

Infatti, se A e B sono vere, noi possiamo concludere, con un ragionamento logico, che la relazione "A oppure B" è sicuramente vera.

Vediamolo in dettaglio.

Nella prossima immagine esaminiamo primariamente l'operatore "or".

Nella riga (1) assumiamo la verità di A.

Nella riga (2) possiamo già affermare che "A or X" è sicuramente vero, qualunque cosa dica "X", in base alla legge dell'inclusione "or". Infatti il risultato di due elementi in "or" è sempre vero, purchè sia vero almeno uno dei due.

Nella riga (3) assumiamo che l'elemento B sia equivalente ad X, tramite mutua implicazione. In pratica sostituiamo X con B.

Nella riga (4) possiamo finalmente affermare la verità di "A or B" tramite prova condizionata, cioè la sostituzione precedente. La prova condizionata altro non è che il ragionamento, cioè l'implicazione logica. In pratica stiamo dicendo: "se X è così, allora posso concludere questo e quest'altro".

Al termine di tutto questo procedimento possiamo concludere dicendo che il fatto che A e B siano veri, consente di asserire che A oppure B lo sono.

In particolare A implica che "A oppure B" è vero tramite prova condizionata.

B idem, ripetendo lo stesso procedimento assumendo inizialmente la verità di B.

E per finire, a maggior ragione, la verità sia di A che di B, implica che sia vero A oppure B.

Ebbene, l'operatore "and" non è altrettanto fortunato. Vediamolo in dettaglio.

Nella prossima immagine esaminiamo l'operatore "and".

Nella riga (1) assumiamo la verità di A.

Nella riga (2) siamo costretti ad assumere la verità di B, perchè l'operatore "and" è vero solo se lo sono entrambi.

Nella riga (3) possiamo già affermare che "A and B" è sicuramente vero, in base alla legge dell'inclusione "and".

Però qui non c'è nessun ragionamento, nessuna prova condizionata, perchè quella è solamente la definizione di "and".

Quindi non è possibile alcuna implicazione logica !

Al termine di tutto questo procedimento possiamo concludere dicendo che il fatto che A e B siano veri, consente di asserire la verità di A e B.

Però, diversamente da "or", non c'è ragionamento, non c'è implicazione logica, quindi non possiamo dire che A, singolarmente, implica che A e B sia vero, nè lo può implicare singolarmente B, nè lo possono implicare entrambi insieme.

Le considerazioni di questo topic potrebbero sembrare assurde, ma saranno molto più convincenti visualizzando le relazioni logiche tramite i diagrammi di Venn.

Con i diagrammi di Venn l'implicazione logica corrisponde ad un cerchio incluso nell'altro.

Per esempio, se p implica q, allora il cerchio p è incluso nel cerchio q.

Vediamo quindi che A è incluso nell'unione dei due cerchi "A or B", quindi la implica, però non è incluso nell'intersezione "A and B". Anzi, al contrario, è quest'ultima intersezione ad essere inclusa in A e in B e ad implicarli entrambi. Si potrebbe obiettare che la verità di A e di B, corrisponde proprio all'intersezione "A and B", ma non è affatto così, perchè la verità di A e di B corrisponde semplicemente alla presenza dei due cerchi nel diagramma. Mentre i cerchi complementari corrispondono semplicemente a ciò che non è A, nè B, ma non negano la loro verità.

Si noti che i diagrammi di Venn spiegano anche il famoso paradosso medioevale accennato all'inizio. Se q è vero, corrisponde ad un cerchio, quindi sicuramente ci sarà un cerchio p più piccolo incluso in esso. Se per assurdo q fosse un semplice punto, sarebbe comunque implicato da sè stesso, p=q.

Infine, anche la realtà ci offre infiniti esempi dell'apparente paradosso illustrato in questo topic. Per esempio, se esiste una persona bella e una persona simpatica, possiamo sicuramente dedurre che esiste almeno una persona bella, oppure una persona simpatica, ma non potremo mai dedurre che esiste una persona che abbia entrambe queste qualità, cioè che sia bella e simpatica.