Ipotesi del continuo

In questo post viene avanzata una nuova dimostrazione dell'ipotesi del continuo.
Si tratta di una dimostrazione abbastanza breve e non corredata da complessi calcoli matematici, in quanto si avvale di un utilizzo innovativo dei connettivi logici. La dimostrazione si articola in 4 parti:
- Gli insiemi
- Gli oggetti spaziali
- Il teorema degli oggetti spaziali
- Dimostrazione finale

Gli insiemi
Cominciamo col dire che un insieme, finito o infinito, può essere riscritto come una coppia di enunciati. L'insieme I = {x1,x2,...,xn} può essere riscritto come segue:

1) x = x1 or x2 or ... or xn
2) I = N(x) = N(x1) and N(x2) and ... and N(xn)

L'enunciato (1) definisce il generico elemento x dell'insieme come un'unione di elementi disgiunti tra loro, che costituiscono i suoi diversi modi di essere.
L'enunciato (2) definisce l'insieme come la congiunzione di tutti gli elementi precedentemente disgiunti.
Si noti che il secondo enunciato non è altro che la legge di Augustus de Morgan sulla negazione che viene applicata al primo enunciato.
Nel nostro caso però il significato è diverso, "N()" non vuol dire "negazione", ma "raggruppamento". Infatti quando congiungiamo gli elementi in un insieme dobbiamo incapsularli in un operatore, perchè altrimenti si otterrebbe l'assurdo. 
Il motivo è che un oggetto non può essere contemporaneamente in più modi diversi, quindi la seguente congiunzione sarebbe assurda:
x1 and x2 and ... and xn = assurdo
Esempio:
il lancio di una moneta può dare testa o croce, quindi il raggruppamento di tutti i lanci di una moneta è dato dal raggruppamento di tutti i lanci che danno testa e tutti i lanci che danno croce, cioè:
1) L = T or C
2) N(L) = N(T) and N(C)
ma un lancio non può dare contemporaneamente testa e croce, quindi avremmo:
T and C = assurdo

Gli oggetti spaziali
Gli oggetti spaziali, geometrici, come un segmento, un quadrato, un cubo o qualsiasi altra figura, corrispondono ad un caso particolare di quella coppia di enunciati.
Per quanto riguarda l'enunciato (1) non cambia nulla, mentre l'enunciato (2) contiene un elemento in più, non compreso nell'elenco di quelli disgiunti.
Questo elemento in più può essere chiamato "parte estranea/complessiva", perchè è estraneo agli elementi disgiunti ed acquisisce un significato solo complessivamente, nel raggruppamento. I seguenti due enunciati identificano quindi un oggetto spaziale:

1) x = x1 or x2 or ... or xn
2) I = N(x) = N(x1) and N(x2) and ... and N(xn) and {N(k)}

dove k è l'elemento in più, che appare solo in fase di raggruppamento.
{N(k)} è la parte estranea/complessiva.
Ora si pone la seguente domanda: 
perchè è così? 

Come si può dimostrare questa proprietà degli oggetti spaziali?
Forse la proprietà è indimostrabile, ma di fatto le cose stanno così, come viene evidenziato dai prossimi esempi.

Le coniche.
Un cerchio può essere riscritto tramite i seguenti due enunciati:
1) p = p1 or p2 or ... or pn
2) Cerchio = N(p) = N(p1) and N(p2) and ... and N(pn) and {EQUIDISTANTI DA UN PUNTO C}
dove {EQUIDISTANTI DAL PUNTO C} è la parte estranea/complessiva.
Il primo enunciato identifica il punto generico.
Il secondo enunciato raggruppa tutti questi punti in un insieme, 
inoltre aggiunge il fatto che questi punti raggruppati sono {EQUIDISTANTI DAL PUNTO C} altrimenti non sarebbe un cerchio, ma un insieme astratto di punti.
Con lo stesso formalismo, possiamo descrivere tutte le coniche sostituendo di volta in volta la parte estranea/complessiva con:
{EQUIDISTANTI DAL PUNTO C}, {EQUIDISTANZA DA UNA RETTA}, {EQUIVALENZA DELLA SOMMA DELLE DISTANZE DAI FUOCHI}, ecc.

I segmenti.
Un segmento può essere riscritto tramite i seguenti due enunciati:
1) p = p1 or p2 or ... or pn
2) Segmento = N(p) = N(p1) and N(p2) and ... and N(pn) and {ORDINE CRESCENTE, DA SINISTRA VERSO DESTRA}
dove {ORDINE CRESCENTE, DA SINISTRA VERSO DESTRA} è la parte estranea/complessiva.
Il primo enunciato identifica il punto generico.
Il secondo enunciato raggruppa tutti questi punti in un insieme, inoltre aggiunge il fatto che questi punti raggruppati vanno ordinati crescenti, da sinistra verso destra, altrimenti non sarebbe un segmento, ma un insieme astratto di punti.

Un punto sul piano cartesiano.
Un punto sul piano cartesiano può essere riscritto tramite i seguenti due enunciati:
1) n = x or y
2) Punto = N(n) = N(x) and N(y) and {COORDINATE DEL PUNTO}
dove {COORDINATE DEL PUNTO} è la parte estranea/complessiva.
Il primo enunciato identifica un numero generico che può essere x oppure y.
Il secondo enunciato raggruppa x ed y in un insieme, inoltre aggiunge il fatto che x ed y sono coordinate di un punto,altrimenti non avremmo un punto sul piano cartesiano, ma un insieme astratto di due numeri x ed y.

Una sedia.
Una sedia può essere riscritta tramite i seguenti due enunciati:
1) elemento = schienale or sellino or gamba1 or gamba2 or gamba3 or gamba4
2) Sedia = N(elemento) = N(schienale) and N(sellino) and N(gamba) and {COMODITA'}
dove {COMODITA'} è la parte estranea/complessiva.
Il primo enunciato identifica l'elemento generico che compone sedia.
Il secondo enunciato raggruppa tutti questi elementi in un insieme, 
inoltre aggiunge il fatto che vanno raggruppati con un criterio, nello specifico la comodità, altrimenti, senza alcun criterio, avremmo solamente un insieme astratto di oggetti.

Spero che gli esempi precedenti siano sufficienti per convincervi del fatto che gli oggetti spaziali possono essere definiti in quel modo, e che quindi si possono distinguere dagli insiemi astratti per via della presenza dell'elemento in più nel secondo enunciato. La seguente proprietà invece, può essere dimostrata. 

Teorema degli oggetti spaziali.
Un oggetto spaziale contiene sempre nel suo interno un altro oggetto spaziale.
Dimostrazione.
Supponiamo un oggetto spaziale N(x) identificato dai seguenti due enunciati:
1) x = x1 or x2 or ... or xn
2) I = N(x) = N(x1) and N(x2) and ... and N(xn) and {N(k)}
Supponiamo che {N(k)} non sia spaziale e che quindi non contenga la parte estranea/complessiva, cioè:
1) k = k1 or k2 or ... or Kn
2) N(k) = N(k1) and N(k2) and ... and N(kn)
In tal caso potremmo riscrivere il primo oggetto come di seguito:
1) x = x1 or x2 or ... or xn or k1 or k2 or ... or Kn
2) N(x) = N(x1) and N(x2) and ... and N(xn) and N(k1) and N(k2) and ... and N(kn)
Ma allora neanche N(x) sarebbe spaziale, contro l’ipotesi iniziale, perchè non avrebbe la parte estranea/complessiva.
È necessario quindi che se N(x) è spaziale, lo sia anche la parte {N(k)} estranea/complessiva contenuta al suo interno.
COROLLARIO:
Questo teorema può essere applicato ricorsivamente, 
pertanto se un oggetto spaziale ne deve contenere almeno un altro nel proprio interno, si deduce che quest'ultimo, essendo a sua volta spaziale, ne conterrà ancora un altro nel proprio interno, e così via, per cui un oggetto spaziale è divisibile all’infinito. 
Questo vuol dire che ogni oggetto spaziale può essere diviso in parti più piccole, anche se la parte estranea/complessiva delle parti più piccole assumerà di volta in volta un significato diverso.

Dimostrazione finale.
Proviamo ad applicare il teorema al seguente oggetto spaziale elementare:
1) x = x1
2) I = N(x) = N(x1) and {N(k)}
Sarebbe sufficiente una parte estranea/complessiva come segue:
1) k = k1
2) N(k) = N(k1) and {N(l)}
Inizialmente l'oggetto spaziale avrà due elementi, N(x1) and {N(k)}.
Considerando che la parte estranea/complessiva è scelta arbitrariamente tra i due come elemento in più, il teorema ci restituisce di volta in volta 2 * 2 * 2 * ... elementi infinite volte, cioè (2^N) elementi per l'oggetto spaziale elementare, che corrisponde alla cardinalità dell'ipotesi del continuo.

Nota:
Si noti che gli insiemi astratti, non spaziali, non hanno una parte estranea/complessiva.
Tutt'al più, hanno proprietà che si deducono dai singoli elementi che li compongono.
Oppure, come nei seguenti casi, hanno proprietà che si deducono dal loro insieme, ma che non si congiungono.

Vediamo i prossimi esempi:
insieme di numeri multipli di quattro
1) n = 4 or 8 or 16
2) N(n) = N(4) and N(8) and N(16) --> {MULTIPLI DI QUATTRO}
insieme di numeri primi tra loro
1) n = 3 or 5 or 11
2) N(n) = N(3) and N(5) and N(11) --> {PRIMI TRA LORO}
insieme dei numeri razionali
1) n = 1 or 2 or 1/2 or ...
2) N(n) = N(1) and N(2) and N(1/2) --> {NUMERABILI}
In tutti quegli insiemi è sufficiente osservare gli elementi congiunti per trarre la conclusione della loro proprietà, che viene quindi implicata e non aggiunta con il connettivo and.
Questo vale anche per l'insieme non spaziale dei numeri razionali che quindi ha cardinalità N, invece che 2^N.
Non può esserci cardinalità intermedia tra oggetti spaziali e non spaziali, 
così come non esiste un connettivo intermedio tra "-->" ed "and", che coincidono solo quando i termini sono uguali.

Termine della dimostrazione.

Dubbi? Obiezioni? Domande?

Ben vengano. Anch'io che l'ho inventata ho dei dubbi.